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投资组合分析的简化模型

威廉华盛顿大学

本文论述了在马科维茨投资组合分析技术的实际应用中，使用特定的证券间关系模型的优点。为了充分利用这个模型，我们开发了一个计算机程序，它可以以极低的成本分析2000种证券——仅为标准二次规划的2%。此外，初步证据表明，模型中使用的相对较少的参数可以导致与证券之间的大量关系集获得的结果非常接近。低成本分析的可能性，加上需要牺牲相对较少的信息的可能性，使该模型成为马科维茨技术最初实际应用的有吸引力的候选模型。

1.介绍

Markowitz认为，投资组合的选择过程可以通过(1)对证券的未来表现进行概率估计，

(2)分析这些估计，以确定一组有效的投资组合和

(3)从集合中选择最适合投资者偏好的组合[1,2,3]。本文将Markowitz的工作扩展到这三个阶段中的第二个阶段——投资组合分析。初步部分以一般形式陈述了问题，并描述了马科维茨的解决技术。本文的其余部分提出了一个证券间关系的简化模型，指出了该模型允许对投资组合分析问题进行简化的方式，并就成本以及将该模型用于马科维茨技术的实际应用提供了证据。

2.投资组合分析问题

一位证券分析师对N种证券的未来收益做出了如下预测:

Ei = Ri(证券i的回报)的期望值

C - h - C ';Cy表示Ri和Ej之间的协方差(通常，当i = j时，图是Ri的方差)

投资组合分析问题如下。给定这样一组预测，就确定了一组有效投资组合;如果没有其他投资组合给出(a)更高的预期回报和相同的回报方差，或(b)更低的回报方差和相同的预期回报，则该投资组合是有效的

让X;表示一个组合投资于证券i的比例。那么任何组合的预期收益(E)和收益(V)的方差可以用(a)基本日期(b -values和Ca-values)和(b)投资于各种证券的金额表示:

考虑这个形式的目标函数:

给定参数(，E和Ci)的一组值，可以通过可变X:值来更改值。只要遵守两个基本限制

1.整个投资组合必须投资:

2 x: = 1

和2。任何证券都不得持有负数。

x:所有i等于20。

一个投资组合是由投资于各种证券的比例来描述的——在我们的笔记中是X的价值。对于每一组x的可接受值，都有一个对应的B和V的预测组合，也就是o的预测组合。图1说明了a的特定值的这种关系。其他行指的是(gt;gt;)的较大值。在所有可能的投资组合中，一个人将最大化的价值:“在图1中是投资组合c。这个解决方案和投资组合分析问题之间的关系是显而易见的。得到的e.v组合将在可达到的组合集合的边界上:而且目标函数将与该点的集合相切，因为该函数具有这种形式

由于现金可以作为证券之一(显式或隐式)，这个假设并不缺乏现实性。

这是标准的配方。允许卖空交易的笼子需要一种不同的方法。

这一事实对下一秒所述的临界线计算过程是至关重要的

优化选择

一个简化模型FOB投资组合分析

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边界在该点的斜率必须为X;因此，将Xfrom -|-laquo;变化为0，就可以得到投资组合分析问题的每个解。

对于任意给定的X值，本节描述的问题需要一个二次函数的极大化，lt;lgt;(这是X、-、X/和XiXj项的函数)受线性约束(23lt; ^i - 1) gt;，变量限制为非负值。许多技术已经被开发来解决这类二次规划问题。由Markowitz与他的投资组合分析工作共同开发的临界线方法特别适合于这一问题，并在本文描述的程序中使用。

3.临界线法

有效投资组合集合的两个重要特征使投资组合分析问题的系统求解相对简单。第一个是投资组合之间的关系。任何一组有效的投资组合都可以

描述在一个较小的一组角的投资组合。E, V曲线上的任何点(除了与角点组合相关的点)都可以通过将总投资除以两个相邻角点组合的组合得到。例如，图1中给出E, V组合C的投资组合可能是点2和点3所示的带有E, V组合的两个角投资组合的某个线性组合。这一特征使得iJie分析师将注意力限制在边缘投资组合上，而不是有效投资组合的完整集合上;后者很容易从前者得到。

解决方案的第二个特点是涉及到各个角落的投资组合之间的关系。在E, V曲线上相邻的两个角的投资组合以以下方式相关:一个投资组合将包含(1)在另一个投资组合中出现的所有证券，加上一种额外的证券或(2)在另一个投资组合中出现的所有证券，只有一种除外。因此，当E, V曲线从一个投资组合向下移动到另一个投资组合时，有效投资组合中的证券数量将会变化，直到一方退出或另一方进入。变更发生的点标志着新来者的投资组合。

用临界线法解决投资组合分析问题的主要步骤是:

1.确定了带有X = lt;raquo;的comer组合。它完全由

期望回报最高的证券

2.(a)有效投资组合中所包含的各种证券的数量与(b)计算X的价值之间的关系。对于相邻角的投资组合之间的E, V曲线的任何部分，都有可能推导出这样的关系。然而，适用于曲线一段的关系不适用于其他任何一段。

3.使用(2)中计算的关系，对每一种证券进行检查，以确定X的价值，当X值达到时，投资组合中包含的证券将发生变化:

a.目前在投资组合中的证券被检查，以确定它们将在X的价值时退出，以及

b.目前不在投资组合中的证券被检查，以确定X的价值，他们将进入投资组合。

4.决定证券进入或退出投资组合时X的第二大值。这表示下一个到来的投资组合的位置。

5.根据(2)中推导出的关系，计算出新的投资组合的组成。然而，由于这些关系仅存在于该投资组合与前一个投资组合之间的曲线部分，因此只有推导出新的关系，求解过程才能继续进行。因此，除非X = 0，否则该方法返回到步骤(2)，在这种情况下，分析已经完成。

完成投资组合分析所需的计算量

*如果两种或两种以上的证券具有相同(最高)的预期回报，则第一个有效投资组合是这些证券的组合，其方差最低。

这种方法与以下因素有关:

1.证券分析的数量

这将影响步骤(2)中的计算范围和步骤(3)中的计算次数。

2.街角投资组合中的佼佼者

步骤(2)到(5)必须重复一次找到每个角落的投资组合。

3.方差-协方差矩阵的复杂性

第(2)步要求一个矩阵的逆矩阵，并且必须对每个投资组合重复一次。

执行投资组合分析所需的计算机内存空间的大小主要取决于方差-协方差矩阵的大小。在标准情况下，如果分析N个证券，这个矩阵将有| (N^ N)个元素。

4.IHagonal模型

投资组合分析需要大量的比较;显然，一组假设可以大大简化这种技术的实际应用，这些假设可以减少这种比较所涉及的计算量。本文将描述一组这样的假设(称为对角线模型)。这个模型有两个优点:它是最简单的模型之一，可以在不假定证券之间存在相互关系的情况下构建，而且有相当多的证据表明，它可以捕获此类相互关系的很大一部分。

对角线模型的主要特点是假定各种证券的收益只与某些基本的潜在因素有共同的关系。任何安全的收益都是由随机因素和这个单一的外部因素决定的;更明确:

其中Ai和Bi是参数，Ci是一个期望值为零且方差Qlt;的随机变量，/是某指标的水平。指数，可以是股票市场的整体水平，国民生产总值，一些价格指数或任何其他被认为是影响证券收益最重要的单一因素。未来的7级部分是由随机因素决定的:

其中，An i为参数，Cn i为随机变量，其期望值为0，方差Qn i为。假设对于i和j (i ^ j)的所有值，C、-和Cj之间的协方差都为零。

图2提供了模型的图形表示。Ai和Bi用于定位将Ri的期望值与i的水平相关联的线。Qi表示Ri在预期关系周围的方差(假设此方差为

沿直线的每一点都相同)。最后v, A-表示I的期望值和q的期望值周围的方差。

diaconal模型需要来自安全分析师的以下预测:

1) A..B;N种证券的Q

2)索引I的An和Qn值。

因此，分析师所需估计数大大减少:分析100种证券从5.150减少到302，分析2 000种证券从2 003.000减少到6.002

一旦指定了对角线模型的参数，就可以推导出标准投资组合分析问题所需的所有输入。的关系是:

投资组合分析可以通过获取对角线模型所需的值，从中计算出标准投资组合分析问题所需的全部数据集，然后使用导出的值进行分析来完成。然而，如果直接用对角线模型的参数来重新表述投资组合分析问题，则可以获得额外的好处。下面的章节描述了执行这种重述的方式。

投资组合的回报;

组件证券:

5.的模拟

itrsquo;它是股票的加权平均收益。

R -xR

每种证券对投资组合总收益的贡献为simolv XR，或者，在对角线模型假设下:

一种证券对投资组合收益的总贡献可以分为两部分:(1)对有关证券的“基本特征”的投资和(2)对指数的“投资”

(1)

(2)

一个组合的回报可以被认为是(1)对N个“基本证券”的一系列投资和(2)对指数的投资的结果:

图2

定义Xn为R对I的加权平均响应度:

X = xB

将这个变量和公式代入I的行列式，得到:

因此，投资组合的预期收益为:

而方差是:

这个公式说明了为什么要用参数An i和Qn i来描述7的未来值的期望值和方差。这也说明了称之为“对角线模型”的原因。当考虑N个证券时，方差-协方差矩阵是满的，通过包含一个定义为(N l)st的证券，可以表示为只沿对角线有非零元素的矩阵。这大大减少了解决投资组合分析问题所需的计算次数(主要在临界线法的第8步2中，当方差-协方差矩阵必须反向时)，并允许问题直接用对角线模型的基本参数表示:

最大化:X^ (- F

地点:f ?= E

N l

从i到N的所有i都是Xi ^ 0

张

6.对角线模型投资组合分析代码

如前一节所述，如果用difonal模型的基本参数来表示投资组合分析问题，可以大大减少求解所需的计算时间和内存空间。介绍充分利用对角线模型特性，使用FORTRAN语言编写的机器代码。它使用临界线法来解决上一节所述的问题。

对角线编码所需的计算时间比标准二次程序码所需的计算时间小得多。兰德QP

bull;回想一下，对角线模型假设所有i和j (t7 ^ j)的eovid.Cj)都为0。

代码“需要33分钟解决IBM 7090计算机上100个安全级别的示例;用对角线编码在30秒内解决了同样的问题。此外，减少的存储需求允许分析更多的证券:对于IBM 709或7090,RAND QP代码可以用于不超过249个证券，而对角线代码可以分析多达2000个证券。

虽然对角线代码允许总计算时间大大减少，但大型分析的成本仍然远非微不足道。因此，我们有理由将计算限制在那些对最终选择投资组合至关重要的方面。由于考虑了借贷的可能性，对角线编码将计算限制在确定最终有效投资组合集合的绝对必要的部分。这些替代方案的重要性，它们对投资组合分析问题的影响，以及在对角线代码中考虑它们的方式，将在本节的其余部分中描述。

A.“贷款组合”

有一种利率(ri)，在这种利率下，贷款时可以保证本金和利息都将得到偿还;至少，钱可以埋在地下{ri = 0)，这种替代可以作为一种可能的证券{Ai = 1 ri, Bi = 0, Qi = 0)，但这将需要一些不必要的计算。在对角线代码中，为了使计算时间最小化，贷款利率明确地考虑在内。

贷款和有效投资组合之间的关系可以通过E来最好地看到，这是一条曲线，显示了与有效投资组合相关的预期收益和收益标准差(= / F)的组合。如图3 (FBCG)所示;点A表示E，如果所有资金都借出，则达到一个组合。贷款和购买组合之间的关系可以用具有E的组合来说明，这是由点Z表示的组合。考虑一个组合，Xi投资于组合Z，余数(1 - XJ)以利率ri借出。这样一个投资组合的预期回报是;

收益方差为:

bull;程序在[4]中描述。有几种可供选择的二次规划代码。IBM最近开发的一段代码，使用了critical line方法，很可能证明它对于投资组合分析问题更加有效。RAND代码是用来比较的，因为它是作者所使用过的唯一标准程序。

^实际上，对角线代码不能接受“气”的非正值;也就是说，如果贷款替代品只是作为另一种证券被纳入，它必须被赋予一个非常小的Qi值。这个过程实际上会给出正确的答案，但效率很低。

但是由于Vi和cov,i都是0

收益率的标准差为:

因为E和lt; r是线性函数(X), iheE, lt; r组合的组合组成的投资组合(Z 贷款必须躺在一条直线连结点Z和a。一般来说,由splittii ^他的投资组合和贷款,一个投资者可以获得任何E, a - E线连接组合,两个组件的组合。

许多投资组合在没有贷款替代方案的情况下是有效的，但一旦引入贷款

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