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摘 要

不确定关系是量子力学中的一个重要结论，也是其不同于经典力学的重要特征。本文定量计算了一维线性谐振子坐标—动量之间、动能—势能之间的不确定度关系，一维无限深势阱中粒子的坐标—动量之间的不确定度，通过具体的数值计算，证明他们满足一般的不确定关系，并且澄清了一些关于海森堡不确定关系的似是而非的论断。另外将表明，一对共轭变量的不确定度以及各自的变化趋势，都取决于具体体系的波函数，这对共轭变量并不一定存在相反的变化趋势。例如，在一维线性谐振子中， 和 在定态下，具有相同的变化趋势。在一维无限深势阱中， 和 在定态下，也具有相同的变化趋势，因此，所谓的“在更精确地知道粒子位置的同时, 必然不能更精确地知道其动量”这一论断未必总是成立。

关键词 不确定关系 一维线性谐振子 一维无限深势阱

ABSTRACT

Uncertainty relations is an important conclusion in quantum mechanics. It is also an important feature which is different from classical mechanics. In the system of one-dimensional linear harmonic oscillator, position and momentum uncertainties and kinetic energy and potential energy uncertainties are calculated quantitatively. In the one-dimensional infinite potential well, position and momentum uncertainties are calculated. It is shown that they obey the general uncertainty relations. Some misunderstanding and misdescription about the uncertainty relations are explained. In addition, it is shown that a pair of conjugate variables uncertainties and their respective trends depends on the the wave function in specific system. This conjugate variables uncertainties do not necessarily exist opposite trends.

For example, in a one-dimensional linear harmonic oscillator,andfollow the same trend in a given state. In one-dimensional infinite potential well, and

also follow the same trend in a given state. Thus,“the more precisely the position (momentum) of a particle is given, the less precisely can one say what its momentum (position) is.”is not necessily accurate.

Key words uncertainty one-dimensional linear harmonic oscillator

one-dimensional infinite potential well

目录

摘 要 I

ABSTRACT II

目 录 III

第一章 绪 论 1

1.1 引言 1

1.2海森堡不确定原理 3

1.3量子不确定度和标准偏差 3

第二章 基于一维谐振子的理论计算 6

2.1引言 6

2.2一维谐振子的位置—动量不确定性关系 6

2.2.1薛定谔方程 6

2.2.2量子力学中的线性谐振子的波函数 7

2.2.3线性谐振子的坐标—动量不确定度 12

2.2.4结果与讨论 15

2.3线性谐振子体系能量的不确定性关系 16

2.3.1线性谐振子动能—势能的不确定度 16

2.3.2结果与讨论 18

第三章 基于一维无限深势阱的理论计算 21

3.1引言 21

3.2一维无限深势阱的坐标—动量不确定关系 21

3.2.1一维无限深势阱中粒子的波函数 21

3.2.2 一维无限深势阱中不确定关系的计算 23

3.2.3结果与讨论 24

结 论 25

参 考 文 献 26

致 谢 27

第一章 绪 论

1.1 引言

人们普遍认为量子力学是基本的物理理论,它是我们对物理世界进行根本和普适描述的最佳理论。这个理论中的概念大不同于经典物理。事实上，从经典过渡到量子物理标志着我们的认知从宏观到微观世界过渡的真正革命。

经典物理和量子物理的一个引人注目的区别是：经典力学假定所有的物理量都可以同时精确测定，而量子力学否认了这种可能性，一个典型的例子是粒子的位置和动量。根据量子力学“粒子的位置(动量)越精确，它的动量越不精确(位置)”,这是一个简单的位置和动量的量子力学的不确定性原理。不确定性原理在许多讨论量子力学的哲学内涵方面发挥了重要作用，特别是在讨论所谓的哥本哈根解释的一致性。

需要说明的是，不确定性原理不是经典和量子物理学的唯一区别，其他的比如量子纠缠也是经典力学和量子力学的重大不同，并且在现代的量子信息科学中发挥着重要的作用。

1927 年, 海森堡(W·Heisenberg)第一次指出粒子的位置和动量的不确定度的乘积不小于某个下界—普朗克常量的量级。但是, 海森堡没有赋予不确定度具体的定义，也没有试图给出数学证明。1929 年, 罗伯特(H .P .Robertson)将力学量的不确定度定义为算符在指定状态下的值之均方差(variance), 并“严格”证明了不确定性关系 。

设表示粒子力学量A 、B 的算符为 ,存在不对易关系。当粒子处于波函数描述的定态时, Robertson定义

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