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第一章

引子

为了正确描述EIT，我们将采用半经典方法。原子被视为完全量子态，而所有场都被视为经典矢量场。 EIT有完全的全量子论的推导[11]，但我们不会在本论文中讨论它们，因为半经典处理已经对原子场相互作用做出了很好的预测¹。

本章中EIT的推导主要遵循Weatherall [12]和Scully和Zubairy [13]中的推导方法。此外，许多解释引用自Fleischhauer等人的工作[7]。

1.1 绪论

三级原子有三种能级结构可以发生EIT，如图1.1所示。虽然所有三个系统都可以出现EIT，但我们将讨论三级Lambda;原子的EIT，由于|2gt;的高衰减率，这缩短了相干寿命。级联体系和V系统的EIT效应减小。 Lambda;原子的|2gt;态是亚稳态，它的衰变大大减少，相干寿命更长。

我们最终对介质的光学特性感兴趣，特别是对探测光的色散和吸收。这些特性由频率相关的复线性电磁化率chi;的一阶来描述，其由下式定义，

图1.1：可以发生EIT的系统。能发生EIT的所有三级系统具有以上三种可能的能级结构之一：Lambda;型，V型和级联型。每个能级结构都有两个偶极子允许跃迁和一个偶

极子禁止跃迁，唯一的区别是能量水平的相对排列

图1.2：具有失谐和衰变的Lambda原子。上图片表示的原子能级系统将贯穿整篇论文。态|1gt;→|3gt;以进行振荡，态|2gt;→|3gt;以进行振荡。这些原子态的迁移由频率为的探测光和频率为的控制光激发。探测光的失谐量为，控制光的失谐量为。原子的基态|1gt;式稳定的，处于上能级的稳态|3gt;和亚稳态|2gt;的衰减率分别是和。电子在|1gt;→|2gt;上的跃迁是偶极禁戒的，导致非常小。

其中P是介质的电偶极矩，E是电场，是自由空间的介电常数。chi;完全决定了我们正在探究的材料特性。需要注意的是，P，E和chi;都是宏观量。但是，为了找到chi;的表达式，我们需要考虑单个原子。

我们首先需要描述量子力学原子在外加场中的表现。为此，我们构造了描述三能级原子的哈密顿量（），并将场的效应近似为偶极扰动（），其作为偶极矩算子（）的能量给出。完整的哈密顿量（）可以进行一些近似并转换成更简洁的形式，我们称之为EIT哈密顿量（）。

EIT哈密顿量描述了一个与外部电磁场相互作用的单个原子，但在我们的系统中，我们考虑一个原子集合。因此，从描述具有单原子波函数的系统过渡到用密度算子（rho;）描述它是很自然的，用密度算子（rho;）模拟原子群的状态。根据介质的描述，我们可以根据偶极矩算子的期望（P = N，其中N是原子密度）得到宏观极化的表达式。然后我们得到关系N=chi;E，我们可以从中求解chi;。在我们得出磁化率之后，我们展示了吸收和色散如何随各种参数变化，预测我们的实验将揭示的内容

1.2 推导EIT哈密顿量

所研究的系统是三能级Lambda;原子，由本征态|1gt;、|2gt;和|3gt;组成，它们具有相应的特征值能量。我们按照能量增加的顺序标记了状态，其中|1gt;是稳定的基态，|2gt;是亚稳态，并且两者都耦合到激发态|3gt;。

我们将以形式描述哈密顿量，

其中是描述没有外场的自由原子的哈密顿量，是由于施加的电场引起的扰动。 及其特征向量解释了原子核与电子之间的所有相互作用。正如我们假设我们只有三个状态，使三个状态|ngt;组成的完全正交基，每个状态具有的相应特征值。完整性和正交性给出：

使用这些特征向量和特征值，我们可以用状态|ngt;写出无扰哈密顿量：

我们现在将用电场扰乱。|2gt;→|3gt;跃迁由幅度和频率的强控制场驱动，而|1gt;→|3gt;跃迁由幅度和频率的弱探测场驱动。 认为|1gt;→|2gt;是偶极禁戒跃迁。假设所有其他能量水平足够偏离共振，其他跃迁可忽略不计。

因此可以将所施加的电场写为

其中是与相关的波矢量。由于波长远大于原子有效半径的入射光，，空间维度可以下降²。这可以通过三角函数项来看出：

当lambda;gt;gt; r时，我们有1 gt;gt; k·r，而cos（k·r）〜1，sin（k·r）〜0。电场变成了

这种扰动的能量将由下式给出

其中q是电荷，E是经典的矢量值电场，是位置算符。-qE 这一项简单地说是与施加场E中的电荷偶极子q和分离矢量相关联的能量。因此，假设lambda;gt;gt; r被称为偶极子近似。

假设偶极子与电场对齐，我们有：

我们现在将偶极矩算子定义为，并且在的本征基中将算子的元素定义为==lt;n||mgt;。扰动变成了

为了简化偶极矩算子，我们假设==0，以及|1gt;→|2gt;是偶极禁戒跃迁。此外，我们假设，不考虑所有对角线元素。这相当于假设原子没有永久偶极矩，对于具有球对称波函数的原子是正确的[12]。这种假设适用于各种原子材料，包括我们感兴趣的物质，铷。在这些假设下，我们有：

1.3 旋波近似

为了找到EIT哈密顿量，我们将使用旋转波近似，忽略汉密尔顿量中任何快速振荡的项。为了计算这些项，我们必须使用时间演化算子转换为相互作用图像：

将此变换应用于得到³：

我们现在想用电场代替，并用指数扩展余弦：

非零矩阵元素是：

我们应用旋波近似，这相当于假设观测时间足够长，任何快速振荡项将在观察的时间尺度上平均。我们知道，探测光的频率接近原子两能级之间的跃迁频率。所以在上面四个等式的指数项中，十分小，任何具有这些项的指数都会保持不变，因为它们会缓慢振荡。然而，包含、、的项将是大的，因此这些快速振荡的项可以在波近似中被丢弃。对所有的非对角项运用这种计算思路，每一项中只有四分之一的指数项保留下来，

我们现在可以使用变换以返回薛定谔图像。

根据Rabi频率编写哈密顿量是明智的。首先，让我们将偶极子算子分为幅度和阶段：

现在定义Rabi频率：

我们得到：

加上和两个部分，我们得到的完整的EIT哈密顿量：

1.4 同步框架

虽然前面的变换清楚地表明了旋转波近似的简化，但我们应用的下一个变换被构造成消除哈密顿量的所有时间依赖性，以及偶极矩算子的相位。这个新的基矢被称为旋转基矢，我们将用转换元素~表示。新的基矢|ngt;与旧的基矢有这样的联系|gt;|ngt;。其中是这样定义的：

要使这种转换变得有益于计算，它必须是归一化的。显然，变换后的哈密顿量也满足薛定谔方程：

我们发现基矢的转换极大地简化了哈密顿量：

不再包含任何时间依赖项。可以将哈密尔顿量代入其标准形式[7]，注意我们可以在不改变任何物理结果的情况下为哈密顿量添加多个常量⁴。添加到哈密顿量有，

将激光失谐定义为、 我们最后得到

这个巧妙的时间独立哈密顿量让我们简化了求解运动方程的过程。

为了正确分析这个哈密顿量，我们将要介绍一些额外的方法，即密度算子和冯诺依曼方程。

1.5 密度算符

哈密​​顿量描述了单个原子系统，相应的哈密顿方程控制着它的时间演化。然而，我们通常不会知道原子的特定状态，而是原子将处于混合状态，特定概率处于状态|gt;⁵。混合状态的一个例子和这里讨论的情况是单原子系统的集合，其具有由给出的状态分布。

为了描述这个表达，我们将假设一个正交完备基：

我们将定义密度运算符：

现在，我们可以看到在一个未知态中哈密顿运算符（代表一个可观测量）的期望值

我们在所有状态上求和的地方，是系统处于状态的概率。注意有，因为系统必须处于某种状态。使用新定义的密度运算符，我们可以看到我们可以用新的方式编写运算符的期望值：

运算符的期望值由的轨给出。我们现在有一种使用密度算子生成期望值的新方法。在下一节中，我们将继续进一步并转换薛定谔方程，使其不参考波函数，完全用代替。

1.6 冯纽曼方程

我们可以根据密度算子重写薛定谔方程，其中密度算子最终将取代波函数。薛定谔方程及其共轭是：

我们现在采用密度算子的时间导数

并进行一些替换以获得冯诺依曼方程：

冯·诺伊曼方程等同于薛定谔方程，但它的好处是它没有提到纯态，我们通常不知道纯态演变的因果。量子系统通常比在我们的模型中包含的要复杂得多——这种复杂性包括原子之间的相互作用和碰撞，以及自发发射和衰变。这些过程中的每一个都从给定状态中减少了布居数。为了解释这些影响，我们添加了衰变项⁶：

其中定义为：

这些增加的项解释了每个态能量水平的衰变，但是在系统中进行简化。首先，将降至零，因为能量守恒使得基态无衰减。其次，由于|2gt;是亚稳态，

将显著小于。我们将在1.9节中看到，|2gt;的长寿命对于保持一致性和EIT至关重要。这些衰减率如图1.2所示。

我们也可以用矩阵元形式书写冯纽曼方程，我们将在下一节中使用它：

1.7 解密度矩阵元

现在我们在旋转基础上得到了简化的EIT哈密顿量（方程（1.29）），我们可以使用冯纽曼方程（1.58式）得到密度算子的运动方程。我们在1.4节中看到薛定谔方程在新的基矢上成立，因此，因为它们是等价的，冯纽曼方程也适用于~rho;和H~EIT。对角矩阵元素由下式给出：

值得注意的是，我们不希望衰变项使原子完全离开我们讨论的能级跃迁。从|2gt;和|3gt;的衰变实际上不会离开我们的系统，而是会衰减到|1gt;。我们可以通过强控制光束的作用将我们的系统泵入|1gt;来解决这个问题。只要我们的探测光束很弱，原子将主要以稳态解存在于|1gt;状态。这种强大的控制光束假设使我们的系统基本上保守，允许我们将对角元素解释为我们的集合中处于状态|igt;的原子分数[12]。非对角线元素由下式给出：

这里我们定义了非对角线衰减率。 *代表复共轭。我们可以使用强控制光束的假设来简化这

资料编号：[5590]