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三 单自由度系统：控制方程

3.1 介绍

3.2 力平衡和力矩平衡法

3.2.1 力平衡法

3.2.2 力矩平衡法

3.3 固有频率和阻尼系数

3.3.1 固有频率

3.3.2 阻尼系数

3.4 不同阻尼类型的控制方程

3.5 不同外加力类型的控制方程

3.5.1 基极励磁系统

3.5.2 旋转质量不平衡系统

3.5.3 由于流体而增加质量的系统

3.6 拉格朗日方程

3.7 总结练习

3.1引言

在本章中，给出了推导单自由度系统运动控制方程的两种方法。第一章的动量原理构成了一种方法的基础，包括力平衡法和力矩平衡法。第二种方法是基于拉格朗日方程，本章首先介绍，并在其余章节中广泛使用。根据控制方程中出现的参数，定义了固有频率和阻尼系数的表达式。当考虑单自由度系统的自由振荡时，第4.2节给出了固有频率和阻尼系数的全部物理意义。此外，如第4.3节所述，还可以从系统参数评估系统稳定性。

当得到控制方程的解析解或数值解时，可以确定系统各组成部分对系统对各种外力和初始条件的响应的相对影响。还可以通过确定系统的传递函数（第5.3节）或系统的脉冲响应（第6.2节）来研究振动系统。在本章中，我们只推导各种系统的控制方程。然后，我们将获得第4章和附录D中的一般解决方案，并说明第4、5和6章中解决方案的许多应用和相互作用。

在本章中，我们将介绍如何：

bull;通过力平衡和力矩平衡方法，获得单自由度平移和旋转系统的运动控制方程。

bull;利用拉格朗日方程得到单自由度平移和旋转系统的运动控制方程。

bull;确定单自由度系统的等效质量、等效刚度和等效阻尼。

bull;确定系统的固有频率和阻尼系数。

力平衡和力矩平衡法

在本节中，我们将说明力平衡和力矩平衡方法在推导单自由度系统运动控制方程时的应用，说明如何确定振动系统的静态平衡位置，并对系统的“小”振幅振动进行非线性系统的线性化。Em的平衡位置。

3.2.1力平衡方法3.2.1力平衡方法

考虑线性动量的原理，这是牛顿的第二运动定律。式（1.11）中给出的动态平衡声明以表格形式重铸。

f-jp=0 （3.1a）

式中，f是作用于系统的净外力矢量，p是所考虑系统的绝对线性动量，以上表示与时间有关的驱动力。对于质心以绝对加速度a移动的等质量m系统，线性动量的变化率p=m a和式（3.1a）导致

f- mA＝0

术语-ma被称为惯性力。等式（3.1b）的解释是，作用于系统的外力和惯性力之和为零；也就是说，系统在外力和惯性力的作用下处于平衡状态。

弹簧-质量-阻尼系统的垂直振动

图3.1显示了弹簧-质量-阻尼模型。刚性为k的线性弹簧和阻尼系数为c的粘性阻尼器与惯性元件m平行连接。除第2章讨论的三个系统元件外，还考虑了外力。我们想得到一个方程来描述系统在垂直方向上的运动。为了推导这种平动方程，采用了力平衡法。在获得图3.1系统的运动控制方程之前，我们选择了一组正交单位矢量i和j，它们固定在惯性参考系中，坐标系是x和y轴，原点o是固定的。由于质量m仅沿j方向平移，因此力平衡仅沿j方向考虑。

将图3.1中所示弹簧的未拉伸长度设为l。然后，质量位于固定表面的位置（l dst x）j处，其中术语8s[将很快确定并解释。在确定8st后，将根据位移变量x建立运动方程。固定点o的质量位置矢量由下式得出：

r=rj=L 8ST X （3.2）

			XST
				X

图3.1

弹簧-质量-阻尼系统的垂直振动。

这种说法也被称为达朗伯原理。根据这一原理的一般形式，当一组所谓的虚拟位移作用于系统的正态时，外力和惯性力的净功为零。[例如，见D.T.Greenwood，动力学原理，第8章，Prentie Hall，Upper Saddle River，NJ（1988）]

第三章 单自由度系统

不同力的方向及其大小如图3.1所示。注意，惯性力也与惯性元件的自由体图一起显示。由于弹簧力是一个恢复力，而阻尼力是一个阻力，因此它们反对如图3.1所示的运动。根据式（3.1b），我们可以沿着j方向进行力平衡，并得出结果方程。

利用式（3.2），注意到l和8st是常数，而后测距项，式（3.3）简化为以下标量微分方程。

静态平衡位置

系统的静态平衡位置是与系统静止状态相对应的位置，即零速度和零加速度的位置。将随时间变化的强迫项f（t）去掉，将式（3.4）中的速度和加速度项设置为零，我们发现静态平衡位置是;

如果，在式（3.5）中，我们选择

我们发现x=0是系统的静态平衡位置。等式（3.6）解释如下。由于质量m的重量，弹簧被拉伸一定量dst，以便弹簧力平衡重量mg。因此，DST被称为静态位移。考虑到弹簧具有未拉伸长度l，从原点o测量的静态平衡位置由下式得出：

系统的其余位置。对于图3.1中的振动系统，从等式（3.6）可以清楚地看出，静态平衡位置由弹簧力和重力载荷决定。示例3.1中提供了另一种类型的静态荷载的示例。

关于静态平衡位置振动的运动方程

将式（3.6）代入式（3.4），我们得到

3.2力平衡和力矩平衡方法

方程（3.8）是单自由度系统关于方程（3.7）给出的静态平衡位置振动的控制方程。注意，重力荷载在等式（3.8）中没有明确显示。因此，在线性振动系统模型的开发中，从静态平衡位置测量位移是一种方便的选择，因为人们不必明确地考虑静载荷。

等式（3.8）的左侧描述了组成单自由度系统的部件所产生的力。右侧代表作用在质量上的外力。作用在物体上的外力的例子有：波动的气压载荷，如飞机机翼上的气压载荷，波动的电磁力，如扬声器线圈中的电磁力，某些微电子机械装置中出现的静电力，旋转机械中不平衡质量引起的力（见第3.5节）和浮标。浮式系统的工作力。式（3.8）表示的系统是一个线性常系数m、c和k的常微分方程。如第2.2、2.3和2.4节所述，这些量也被称为系统参数。

弹簧-质量-阻尼系统的水平振动

在图3.2中，显示了垂直于重力方向移动的质量。假设质量无摩擦运动。弹簧的未拉伸长度为l，固定点o位于弹簧的未拉伸位置，如图所示。注意到弹簧不会产生任何静态偏转，并沿方向进行力平衡，直接得出等式（3.8）。这里，静态平衡位置x=0与对应于未拉伸弹簧的位置一致。

传递到固定表面的力

从图3.1可以看出，弹簧和固定表面上的减震器所产生的总反作用力是静态力和动态力的总和。因此，

如果我们只考虑反作用力的动态部分，也就是说，只考虑那些弹簧的水平振动-由运动x（t）从其静态平衡位置产生的力，然后

质量减震系统。式（3.9）得出

式中，x（t）是等式（3.8）的解。方程式（3.10）在后面章节中用于确定传递到地面的力（第5.4节）或基底运动时传递到质量的力（第5.5节和第6.7节）。

在下面的两个例子中，我们展示了如何获得具有静态分量的外力作用下的系统的控制方程，以及如何线性化具有二次非线性弹簧的系统。

第三章单自由度系统

例3.1关于系统静态平衡位置的风驱动振荡

在检查穿过建筑物、拖缆和灯柱等民用结构的气流时，发现2风通常会在结构上产生一个力，该力由稳态部分和波动部分组成。在这种情况下，激振力f（t）表示为

其中fss是与时间无关的稳态力，fd（t）是力的随时间变化的部分。振动结构的单自由度模型的形式为式（3.8），其中x（t）是结构在风荷载方向上的位移，作用力由式（a）给出；即，

我们将确定这个系统的静态平衡位置，并得到关于这个静态平衡位置的运动控制振荡方程。为此，我们假设方程式（b）的解如下：

其中xo由静载荷决定，xd（t）决定关于静位置的运动。因此，在将式（c）代入式（b）且不认为x与时间无关后，我们发现

xd（t）是方程的解。

这是关于静态平衡位置x〇=fs/k振动的运动控制方程。

例3.2耳膜振荡：非线性振荡器3和线性化系统

在这个例子中，我们考虑一个用于研究鼓膜振动的非线性振荡器。我们将确定该系统的静态平衡位置，并说明如何将控制非线性方程线性化以进行研究。

²E.Naudascher和D.Rockwell，《流致振动：工程指南》，A.A.Balkema，鹿特丹，第103页（1994年）。

³R.E.Mickens，平面动力系统振荡，世界科学，新加坡（1996）。

3.2力平衡和力矩平衡方法

平衡位置的局部振荡。非线性控制方程的形式是

鼓膜的恢复力是一个二次非线性分量。

静态平衡位置

注意到这个问题中没有外部时间相关的强迫项，并且将加速项设置为零，我们发现平衡位置x=x0是代数方程的解。

式（b）的解为耳膜提供了两个静态平衡位置，即：

线性化

接下来，我们替换

将方程（a）中的非线性刚度项线性化，并根据变量x（t）对其中一个平衡位置的振动进行线性化。为此，我们注意到

此外，

xol=0附近“小”振幅振荡的线性化系统

利用方程。（e）和（f）在式（a）中，注意到x〇=x〇：=0，我们在线性方程上推导。

xo2=一l附近“小”振幅振荡的线性化系统

利用方程。（e）和（f）在式（a）中，注意到Xo=Xo2=-1，我们得出了线性方程。

DT2

比较得出，（g）和（h），很明显，方程有不同的刚度项。

3.2.2力矩平衡法

对于承受旋转运动的单自由度系统，如图3.3所示的系统，力矩平衡法可用于推导控制方程。具有扭转刚度kt的轴围绕旋转轴与转动惯量jg的圆盘相连，转动惯量jg沿着k方向。外部力矩M（t）作用于浸没在充油外壳中的阀盘。让变量u描述圆盘的转动，并让轴的转动惯量与圆盘的转动惯量相比可以忽略不计。

方程式（1.17）给出的角动量原理适用于求解迪斯科运动方程。首先确定圆盘的角动量H。由于圆盘是一个在平面上旋转的刚体，式（1.20）用于将圆盘质心的角动量写为

因此，由于转动惯量jg和单位矢量k不随时间变化，公式（1.17）改写为

其中m是作用在自由盘上的总外力矩。根据图3.3所示的自由体图（也包括惯性力矩-jg-ock），运动控制方程为：

图3.3

1. 进行旋转运动的圆盘和（b）该圆盘在垂直于旋转轴的平面上的自由体图。

在等式（3.12）中收集不同矢量项的标量系数并将其设置为零后，我们得出以下标量方程：

式（3.13）的形式与式（3.8）相同，式（3.8）是针对平移振动系统得出的；即，左侧的第一项由惯性元件Jg确定，左侧的第二项由阻尼元件CT确定，左侧的第三项由刚度元件确定。t kt，右手边包含外部作用力，即力矩m（t）。所有线性单自由度振动系统都由一个线性二阶常微分方程控制，该方程有一个惯性项、一个刚度项、一个阻尼项和一个与施加在系统上的外力有关的项。

示例3.3手生物力学4

考虑手在图3.4所示x-y平面上的旋转运动。这个运动用角度6来描述。一个质量为m的物体握在手上，前臂的质量为m，长度为l。

图3.4

手部动作。资料来源：P.Maroti，L.B

资料编号：[3325]