摘 要

对流扩散方程作为偏微分方程的一个重要分支，在流体力学、气体动力学等领域都有广泛的应用。对流扩散方程的求解一般采用有限差分法和有限元法。当扩散的影响大于对流的影响，有限差分法和有限元法都能得到较好的数值结果，但是当对流的影响远大于扩散的影响，这两种方法的求解都会遇到许多困难，结果往往会出现数值震荡。数值流形方法是一种更为高精度和高效的数值方法。该方法采用相互独立的数学覆盖网格和物理覆盖网格组成的覆盖系统进行数值计算，对流体流动的问题具有更高的适用性。

本文将数值流形法应用于对流扩散方程求解。介绍了数值流形法的基本理论，目前，数值流形方法采用基于完全重叠覆盖的有限元网格作为数学网格。为了克服该方法在一些关键部位的计算精度下降的问题，本文又引入了部分重叠覆盖的数值流形法。首先利用有限差分法、有限元法求解对流扩散方程，分析结果发现均存在较难克服的数值振荡问题，说明这两种方法均不适用于该方程的求解。接下来采用完全重叠的数值流形法求解对流扩散方程，结果发现，该方法能在一定程度上改善计算精度，但仍不易实现覆盖函数的升阶。最后利用部分重叠的数值流形法求解对流扩散方程，区域的离散以独立覆盖方式为主，但在独立覆盖之间用较小的部分重叠区域保持连续性，结果表明，这种方法可以克服在对流作用较强时产生的数值振荡问题，适用于对流扩散方程的求解，且具有较好的稳定性。

关键词：对流扩散方程；数值流形法；部分重叠覆盖；计算流体力学

Abstract

As an important branch of partial differential equations, convection-diffusion equations are applied in many fields such as fluid mechanics, gas dynamics and so on. When diffusion is the dominant factor, standard Finite Difference Methods (FDM) and Finite Element Methods (FEM) can offer accurate answers to these equations. However, when convection overwhelms diffusion, these equations turn out to become difficult to solve and numerical oscillations in the results are hard to remove. Numerical manifold method (NMM) is a new proposed numerical method which is of higher accuracy and efficiency. This method contains a mathematical covering mesh and a physical covering mesh, and they are independent to each other, which makes it more suitable for solving hydrodynamic problems.

NMM is applied to solve the convection-diffusion equations. The fundamental theory of NMM is introduced. Currently, Finite element meshes based on completely overlapping covers are used as mathematical meshes in NMM. To overcome the decline of calculation accuracy at some key parts, NMM with partially overlapping covers is presented. Firstly, the solutions of convection-diffusion equations given by FDM and FEM are obtained. Then the computation results show that there is an inevitable oscillating phenomenon, which indicates that neither above two methods works when solving the convection-diffusion equations. Next, the NMM with completely overlapping covers are flawed, from the corresponding results, it is found that even this method can provide improvement on the computational precision at a certain degree, and there are still some drawbacks when it is necessary to increase the order of cover functions. Lastly, the NMM with partially overlapping covers is used to solve the convection-diffusion equations, where the analysis mode mainly concerns with independent covers and the continuity between them is adopted to be a small partially overlapping region. It can be concluded from the results that numerical oscillations are overcome, and this method possesses a stability feasibly to take into account the convection-diffusion problem when the convection effect plays an important role.

Keywords：Convection-diffusion equations; Numerical manifold method; Partially overlapping covers; Computational fluid dynamics

目 录

第一章 绪论 1

1.1 引言 1

1.2 数值流形方法简介 1

1.3 数值流形方法研究现状 2

1.4 本文工作 3

第二章 数值流形方法基本理论 5

2.1 基本概念 5

2.2 四节点流形单元的覆盖函数 6

2.3 小结 9

第三章 对流扩散方程的求解 10

3.1 有限差分法求解 10

3.2 有限元法求解 13

3.3 数值流形法求解 17

3.3.1 完全重叠的数值流形法求解 17

3.3.2 部分重叠的数值流形法求解 21

3.4 小结 23

第四章 全文总结与展望 24

4.1 全文总结 24

4.2 展望 24

参考文献 26

致 谢 27

1. 绪论

1.1 引言

对流扩散问题，主要研究流体中由流体质点所携带的某种物理量在流动过程中的变化规律，这种变化主要由对流及扩散引起。研究对流扩散问题可用于模拟预测河流污染和大气污染中污染物质的变化以及流体中热的传导等多种物理问题。和其他典型物理问题应用，该问题在数学上可表示为控制方程及其定解条件的边值问题。对流扩散方程用于描述这一类问题，但由于存在非线性对流项，很难通过解析方法得到精确解，只能通过数值方法求解。若扩散项在物理过程中起主导作用，用传统的有限差分法或有限单元法求解就可以得到很好的数值结果；但是，若对流项是占主导地位，即对流的影响远大于扩散的影响，则会给数值求带来很多困难，即使顺利求解，结果也可能产生数值震荡^[1]。因此有必要寻求新的数值计算方法来克服这一问题，以建立较为普遍和有效的对流扩散方程求解策略，并考评其稳定性。

1.2 数值流形方法简介

机械设计过程中遇到复杂的粘性不可压缩流动问题通常需要采用计算力学方法进行数值求解分析，目前的计算流体力学方法主要分为有限差分法、有限元法和有限体积法等三大类。这些数值方法一般都采用流场速度和压力分步求解的计算形式，而且有限差分法存在对复杂流场结构的适应性较差和数值解的守恒性难以得到保证等缺点，有限元法存在网格畸变要求网格重新划分和对大梯度与间断问题适应性较差等缺点，有限体积法则存在运动界面难以精确跟踪的缺点。数值方法的这些内在缺点严重影响了计算精度和计算效率，因此发展一种新的更高效的计算流体力学方法，将对复杂流体流动问题的计算分析具有非常重要的意义^[2]。

石根华博士于上世纪90年代提出了数值流形方法，在过去二十多年里，相关学者围绕这一方法开展了许多工作，到目前为止取得了长足的进步；该方法借鉴数学中的“流形”思想，用流形的覆盖技术把有限元方法、非连续变形分析方法和解析方法统一在一起，能更高效、精确的求解物理问题中的偏微分方程。近年来，该方法已经被应用于多个不同领域，并逐步获得了学术界的认可。