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接触式非线性静态分析的结构优化方法及其在汽车自动变速器轻型齿轮箱设计中的应用

Takanori Ide Hiroyuki Kitajima Masaki Otomori Juan Pablo Leiva Brian C. Watson

摘要: 在本文中，我们考虑了具有接触约束的车辆自动变速箱箱体的轻量化设计方法。轻量化设计是保护环境和提高燃油经济性的基本要求。此外，耐用性是安全驾驶的另一个重要要求。然而，在自动变速器的设计中，这两个要求通常处于权衡关系，工程师花费很长的设计研究时间。本文讨论了使用结构优化方法设计轻质结构并通过接触约束最小化应力的设计方法。使用有限元方法求解具有接触约束的应力。三种不同的结构优化方法，拓扑，地形和自由形式优化，被应用于自动变速器的轻型齿轮箱的设计。优化结果表明，优化方法成功地建立了齿轮箱轻量化设计，可以在自动变速器设计过程的早期阶段使用。

关键词:轻量化设计 接触约束 自动变速器

1：介绍

本文的主要目的是表明：

1.具有接触约束的非线性静态分析的灵敏度分析方法;

2.非线性静态分析的结构优化方法的有效性，例如对自动变速器的拓扑，地形和自由形式优化。

我们之前的论文展示给自动变速箱运用结构优化方法来设计具有低辐射噪声的轻型齿轮箱。我们考虑了弹性和声学问题的弱耦合分析。

现在已经很好地理解了接触的非线性分析，但是由于难以实现接触条件和非线性灵敏度分析的成本，因此接触条件的结构优化没有得到很好的开发或使用。 Herskovits等人提出了一种双层方法，并将其应用于形状优化问题。Yi等人，利用等效静载荷方法耦合两个商业程序：用于非线性分析的ABAQUS，和用于优化的NASTRAN;在他们的工作中，他们避免使用昂贵的非线性灵敏度分析。

寻找自动变速器的轻量化设计方法是实现燃料消耗效率的基本任务之一。传统上，工程师依靠他们的直觉和经验来改变他们的设计以提高性能。这种传统方法通常需要大量研究并且需要很长时间才能达到预期结果。为了减少设计研究时间，我们使用结构优化方法。 Schmit（1960）开创了数值结构优化方法，展示了其设计三杆桁架的有效性。文献提供了大量关于形状优化的材料（Zienkiewicz和Campbell; Imam; Bennett和Botkin; Kikuchi等人; Azegami等人; Allaire等人）（及其参考文献）和拓扑优化（Bendsoslash;e和Kikuchi; Wangetal; Allaire等人; Yamada等人; Sigmund和Maute）（及其参考文献）。

今天，为了解决工业应用，商用计算机软件中提供了一些优化方法。在本文中，我们应用了不同的结构优化方法，如拓扑（Leiva 2004），地形（Leiva 2003）和自由形式优化（Leiva 2010），以找到具有接触约束的轻量化设计方法。我们的步骤包括使用有限元法，灵敏度分析和近似方法的非线性静态分析。

本文的其余部分组织如下：在第2节中，我们讨论了一般优化的基本公式和常用的结构优化类型。在第3节中，给出了数值分析中用于评估接触约束应力的数学公式。在第4节中，讨论了车辆自动变速器的设计考虑因素，并显示了不同类型的优化技术的结果。我们将使用拓扑优化来显示数值结果。之后，我们将总结我们以前使用地形优化的工作（Kitajima等人2010）。此外，我们将展示使用自由形式优化的数值结果。然后，我们将质量变化与接触约束应力进行比较，包括拓扑，地形和自由形态优化。最后，在第5节中，我们介绍了这项工作的结论。

2结构优化

在本节中，我们回顾一般优化问题和结构优化方法（Leiva 2011; Ide等人，2014a）。

2.1优化问题

优化问题可以表述为：

min or max

受制于：

其中m和n是约束函数的数量和设计变量的数量，f是目标函数,是制约因素，是设计变量，和是与设计变量相关的侧约束(Vanderplaats 2007, 2011).

目标函数是设计变量的函数,需要最小化或最大化。例如,质量、最大应力或接触压力可用作目标函数。

约束函数是设计变量的函数, 需要加以限制, 以满足规定的所需的最大值或最小值。典型的制约因素有: 质量、应力、位移和接触压力。

设计变量是决定系统配置的数值量, 可由优化器在优化过程中进行更改。在结构优化中, 设计变量通常是可以直接或间接更改元素的尺寸、网格位置和材料属性的参数。

2.2结构优化方法

结构优化是一种用于改进结构的优化方法。在结构优化中，通过使用诸如有限元方法的数值方法求解问题的控制方程来获得响应，而设计变量对应于描述结构的参数。结构优化类型可大致分为尺寸，形状和拓扑优化。有关这三种类型的更详细解释可以在我们之前的论文中找到（Ide et al.2014a）。接下来将介绍其他类型，例如拓扑优化，可以将其视为特定形式的尺寸优化，以及地形和自由形式优化，可以将其视为形状优化的特殊形式。

2.2.1拓扑优化：逐个元素的大小优化

拓扑优化是一种结构优化类型，用于设计单个元素的结构尺寸或属性（例如壳的厚度）。该方法可用于在壳单元上找到最佳厚度分布（Leiva 2004）。 Gambling和Wang（2013）用它设计复合结构。 Ide等人（2014b）用它来设计自动变速箱齿轮箱的壁厚，以减少辐射噪音。

2.2.2地形优化

地形优化是一种结构优化类型，用于设计壳体或复合元素上的表面网格。该方法被认为是形状优化的一种特殊形式。形状优化使用一种技术来叠加预定义的替代形状（Vanderplaats 1979; Imam1982）。在这种类型的优化方法中，一般形状Y定义如下：

其中是参与系数，是定义预定义形状的基础向量, 这也可以以的形式

给出，其中是原始形状和可以被称为摄动向量, 因为它定义从原来的形状到一个扰动的的形状。

地形优化通常用于寻找最佳的珠子模式, 它使用自动生成的摄动向量 (leiva 2003)。地形优化还可以用于间接设计用实心组装的网格元素, 通过在曲面上放置可设计的壳元素。

2.2.3自由形式优化

自由形式优化是另一种形状优化，它使用预先定义的形状或摄动向量。在这方法里，程序将给定的扰动按网格划分为多个扰动。这种分裂与传统形状优化相比，增加了设计空间的可变性。通过自动生成的失真约束和使用平滑的网格避免了有限元网格可能的扭曲。

Leiva（2010）提供了更多详细信息。

2.3结构优化的使用

“形式遵循功能”是著名建筑师Louis Sullivan提出的一种设计原则，常用于现代建筑，工业和汽车设计。它已经使用了一个多世纪。原则表明建筑物或任何物体的结构或形状应该主要基于其预期的功能或目的。该原理也适用于自动变速器设计。但是，设计师不能自由设计，相反，他们必须考虑到存在哪些制造方法。另外，如果他们使用优化软件，他们需要知道哪些可以使用。因此，将不同的结构优化类型和不同制造类型联系起来很重要。

表1列举了几种类型的优化方法适合的一些客观功能。自动变速箱齿轮箱通过铸造制造。变速箱的内部充满自动传动液。我们不使用基本拓扑优化，以避免产生使油泄漏的漏洞，为了他们的灵活性，我们使用拓扑，拓扑和自由形式优化。

表格1 设计自动变速箱时不同类型的结构优化与客观函数和约束

2.4具有接触约束的自动变速箱的轻量化设计技术

在这项工作中使用拓扑测量，拓扑和自由形式优化作为我们的设计自动变速器的初步研究。

表1显示了在我们自动变速箱设计过程中哪种类型的优化方法适合满足不同的设计要求。

齿轮箱由于其复杂的形状而通常是使用实体有限元建模。为了使用拓扑优化，我们在其外表面添加了一层薄薄的壳元素。然后我们通过设计每个壳元素来设计额外的层。这显示了位置

最好的地方将加强。在优化期间，实体模型的网格点不会移动。使用拓扑优化尝试设计额外的层既简单又快捷，但是这个方法，不太可能减少质量。在另一方面，地形和自由形态优化，网格在优化过程中，点可以移动，这可能减少质量。

3接触分析和优化

在本节中，我们考虑非线性接触分析和其结构优化。

3.1具有接触约束的非线性静力分析的制定

有两种常用的方法可以解决接触分析问题。一种是拉格朗日乘数法，另一个是补偿法。在我们的工作中，我们使用补偿法。使用补偿法，接触约束的静态分析的控制方程可以表述如下：

[K(u)]{ u}={F}

其中[K（u）]是刚度矩阵，{F}是载荷矢量，而{u}是静态位移。

上述等式中的刚度矩阵是位移的函数，因为取决于他们的值。

连接接触表面的弹簧无论使用或不使用都将强制执行此类接触。

正常接触条件可写如下：

式中：为结构表面任意点；

是结构彼此可以接触的两个表面之间的间隙；tn是表面牵引力的正常组成部分。

涉及的不等式代表了不同表面之间不可穿透性的运动学条件。

涉及的不等式代表了正常的接触牵引力是压缩的要求。

涉及和的等式方程要求两个单独方程中的任意一个的非零。

上述方程组在迭代法中求解，以便在过程结束时，接触的表面正确连接。解决方案通过假设所有表面都连接在一起开始，这个假设所有弹簧都具有非零刚度值并且发现了第一组位移。如果是假定接触的表面没有接触，这个方法会修正与这些表面相关的弹簧的刚度值为零。有了这个新信息，就会开始新的迭代，再次检查该假设。如果有一对表面接触，然后相应的弹簧刚度就被重置，如果一对表面分开，那么它们相应弹簧的刚度为零。这个过程一直持续到观察到状态没有发生变化为止。

3.2灵敏度分析

通过刚度矩阵和由融合接触分析中得到的位移来评估接触条件的灵敏度。计算接触灵敏度的方程式和计算标准静态分析的灵敏度的方程式相同。该方程式如下所示。

静态响应R（例如应力，位移，应变能）相对于设计变量的灵敏度X, 由分化的链式规则决定,如下：

使用控制全局平衡方程（[K] {u} = {F}）确定位移灵敏度

其中和伪负载有关，因此灵敏度相应公式变为；

计算灵敏度有两种方法：直接方法和伴随方法，下面解释它们。

直接法是第一步计算位移灵敏度，然后用它来计算得到响应灵敏度，该方法需要对每个设计变量执行前向/后向替换（即等效于求解静态载荷）。

伴随法首先计算然后用伪负载点形成响应导数的第二部分。注意，因为K是对称的,因此此方法需要对每个响应进行一次前进/后退替换。如果保留响应的数量小于设计变量的数量，则伴随方法应该提供更好的计算结果。

伪负载在逐个元素的基础上形成，并组装成全局向量。在可能和有效的情况下，计算灵敏度时始终使用精确的分析过程。在其他情况下，使用半分析技术，其中通过有限差分计算伪负载，但灵敏度计算的剩余部分是完全分析的。

3.3近似问题

通过近似概念方法解决结构优化问题。在这种方法中，使用响应的敏感性创一个建近似分析模型，并在每个设计周期进行优化。

然后是近似优化的设计解决方案用于更新有限元模型，完整系统执行分析以创建下一个近似分析模型。设计周期的顺序一直持续到近似最优设计收敛于实际优化设计。在七十年代中期，Schmit等人（1974,1976）引入了传统结构优化的近似概念。这些概念，在八十年代和九十年代初期，改良后以提高近似值的质量（Vanderplaats和Salajegheh 1989; Can field 1990）。使用BIGDOT（Vanderplaats 2000）或DOT（DOT用户的手册1999）优化人员的任一方法解决近似问题。使用近似概念方法的目的是减少设计数量循环以减少时间。有了这些近似值，一个良好的工程答案通常可以在10到15个设计周期之间找到

4数值例子

作为一个示范性问题，我们考虑使用前置发动机和前轮驱动类型（在此之后，我们称为FF类型）自动变速器。由于机械的精确性，自动变速器的内部零件的设计自由度很低。作为设计空间，我们考虑齿轮箱的壁厚。

4.1有限元模型

我们的有限元模型使用三维实体元素。图1显示了我们的自动变速器的模型（Kitajima等人2010年）。这个模型包含3678557个元素（四面体和六面体）和4,761,454个网格和

15,412,771 个DOF。

4.2表示法

我们定义了Kitajima等人（2010）运用的符号。

：压力

：质量

：目标质量

其中

：设计变量。

此外，我们将的最大值定义如下：

4.3优化问题

应力响应取决于负载力，我们需要最小化所有施加的装载力应力的峰值。但是，在优化时改变结构的大小或形状，峰值压力很容易从一种压力转移到另一种压力。为了克服这个困难，我们介绍一个人工设计变量称为beta;，并使用此beta;添加额外的约束方程。这种方法叫做

beta;方法（Taylor和Bendsoslash;e，1984），它被广泛用于解决最小-最大问题（Vanderplaats 2007，

2011）。目标函数设置为最小beta;和缩放的最大应力被限制为小于beta;。如果beta;降低，为了满足beta;约束，压力的最大值也会降低。

使用beta;方法，可以获得如下两个额外的被认可的好处（Kitajima等人，2010）：

1.即使最大应力的位置在优化设计周期内发生变化，也会产生最大响应，并且它的敏感性存储在整个过程中，因此，可以进行连续优化。

2.由于有效的约束筛选，只有一个限制的响应数量（在beta;约束中使用的响应数量）保留。

4.3.1

资料编号：[4391]