Eur. Phys. J. B 49, 513–522 (2006) DOI: 10.1140/ep jb/e2006-00085-1

THE EUROPEAN

PHYSICAL JOURNAL B

Topological patterns in street networks of self-organized urban settlements

J. Buhl1 , a, J. Gautrais1, N. Reeves2, R.V. Solacute;e3, S. Valverde3, P. Kuntz4, and G. Theraulaz1

1 Centre de Recherches sur la Cognition Animale, CNRS UMR 5169, Universitacute;e Paul Sabatier, 118 route de Narbonne,

31062 Toulouse Cedex 4, France

2 Laboratoire NXI GESTATIO, Dacute;epartement de Design, Universitacute;e du Quacute;ebec `a Montracute;eal, Case Postale 8888, Succursale Centre-Ville, Montracute;eal (Quacute;ebec), H3C 3P8, Canada

3 ICREA-Complex Systems Lab,Universitat Pompeu Fabra, Dr Aiguader 80, 08003 Barcelona, Spain

4 Laboratoire drsquo;Informatique Nantes-Atlantique, Universitacute;e de Nantes, 2 rue de la Houssini`ere, BP 92208,

44322 Nantes Cedex 03, France

Received 7 September 2005 / Received in final form 5 January 2006

Published online 31 March 2006 – Oc

EDP Sciences, Societ`a Italiana di Fisica, Springer-Verlag 2006

Abstract. Many urban settlements result from a spatially distributed, decentralized building process. Here we analyze the topological patterns of organization of a large collection of such settlements using the approach of complex networks. The global efficiency (based on the inverse of shortest-path lengths), ro- bustness to disconnections and cost (in terms of length) of these graphs is studied and their possible origins analyzed. A wide range of patterns is found, from tree-like settlements (highly vulnerable to random fail- ures) to meshed urban patterns. The latter are shown to be more robust and efficient.

PACS. 89.75.Hc Networks and genealogical trees – 89.40.Bb Land transportation – 89.65.Lm Urban planning and construction

1 Introduction

Human activities take place on a spatial matrix largely defined by three types of transportation networks. These involve matter (streets, roads, highways, railways, airport networks), energy (the power grid) and information (Inter- net, telephone networks). One of the oldest human-made webs is the city. The network of streets in a city is de- scribable in terms of a grid of linked nodes defining a more or less ordered pattern. Although urban structures are not limited to a two-dimensional domain, cities are essentially planar structures. The architecture of streets and roads crossing the urban structure defines a basic template that strongly constrains the further development of other webs (such as the power grid or communication nets). Cities are usually considered as organized hierarchi- cally into neighbourhoods, whose rank and spatial extent depend on a number of traits, including the economic func- tion which they offer to the surrounding population. Hier- archical structures would be organized around specialized centres serving larger areas, whereas those of local needs serve smaller ones.

The growth dynamics of cities has changed over time, and modern towns experience rapid, often uncontrolled patterns of growth that escape from a top-down, planned

a Current address: Department of Zoology, University of

Oxford, Tinbergen Building, Oxford OX1 3PS, UK

e-mail: buhl@cict.fr

scheme [1]. This happens at many different scales: today, in developing countries, besides the exponential growth of the main urban centers, we attend the simultaneous growth of thousands of slums, shantytowns and squatter settlements which accounts for one half of all urbanization processes in the world. Their growth follows a pattern of- ten described as “organic”, marked by many distributed decisions, and often characterized by a large degree of complexity [2]. At the scale of their global shape, many cities expand today largely through this second mech- anism and recent studies reveal that they actually dis- play fractal-like patterns not very different from those displayed by natural systems [3, 4]. In this context, re- cent studies on morphological patterns of large urban structures suggest that some universality classes might be at work [5]. Specifically, Carvalho and Penn studied the statistical patterns of street maps in a large collection of cities, looking for regularities derived from rank-order curves using data collapse. Fractal patterns were reported and their features were suggested to be the result of dis- tinct Levy processes.

A complementary analysis can be performed by look- ing at smaller scales in urban zones involving distributed (instead of planned) decisions. At a lower scale, whether in parts of a large modern city or in smaller settlements, de- centralized growth of street networks can also be observed throughout the whole history of the city. Many of these networks do not result from a planning process where ad- dresses are attributed prior to any construction, but rather

emerge or evolve in an incremental way through a physical process involving local aggregation rules [6]. It follows that in many cases, the resulting topologies are complex and deviate from simple regular patterns such as square-grids. The common traits of such street networks are largely un- known and their quantitative description is lacking.

When dealing with the architecture of city networks (including the type of networks considered here but also others such as road networks) two different approaches can be considered. One is to explore the dynamic pat- terns that can arise on top of a pre-defined web. In this approximation the key question would be how the traffic of matter can be optim

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自组织城市住区街道网络的拓扑格局

摘要：许多城市居民点由空间分散，分散的建筑过程产生。 在这里，我们使用复杂网络的方法来分析大量这样的定居点的组织的拓扑模式。 研究了这些图的全局效率（基于最短路径长度的倒数），断开的冗余度和成本（以长度为单位），并分析了其可能的起源。 发现了多种模式，从树状的定居点（极易受到随机的破坏）到网格化的城市模式。 后者被证明是更加健壮和有效的。

1 介绍

人类活动发生在一个主要由三种交通网络定义的空间矩阵上。这些涉及事务（街道，道路，公路，铁路，机场网络），能源（电网）和信息（互联网，电话网络）。最古老的人造网之一是城市。 一个城市的街道网络可以根据定义多或少有序模式的链接节点网格来描述。 虽然城市结构不仅限于二维领域，但城市基本上是平面结构。 跨越城市结构的街道和道路的建筑物定义了一个基本模板，强制限制了其他网络（如电网或通信网）的进一步发展。 城市通常被认为是有组织地分为社区，其等级和空间范围取决于一些特征，包括他们对周围人口的经济功能。 将围绕专门服务于较大地区的专门中心组织建筑物的建筑，而当地需求的服务则较小。

随着时间的推移，城市的增长动态发生了变化，现代城镇经历了快速，经常是不受控制的增长模式，从自上而下的计划中脱颖而出[1]。这种情况发生在许多不同的规模上：今天在发展中国家，除了主要城市中心的指数级增长之外，我们还参加了数千个贫民窟，棚户区和寮屋区的同时增长，占世界城市化进程的一半。他们的成长遵循被描述为“有机”的模式，标志着许多分布式决策，并且往往具有很大程度的复杂性[2]。在全球形势的规模上，许多城市今天大部分通过第二次机制扩大，最近的研究表明，他们实际上发布了与自然系统显示的分形样式不太相似[3，4]。在这种情况下，关于大型城市结构形态学模式的最新研究表明，一些普遍性类可能在工作[5]。特别地，Carvalho和Penn研究了大量城市中街道地图的统计模式，寻找使用数据崩溃从秩序曲线得出的规律性。报告了分形模式，其特征被认为是不同征税过程的结果。

可以通过查看涉及分布式（而不是计划的）决策的城市地区的较小规模来进行补充分析。 在较小的规模下，无论是在大型现代化城市的部分地区还是在较小的定居点，都可以在城市的整个历史中观察到街道网络的集中增长。 许多这些网络不是由于在任何建筑之前归属的规划过程，但是通过涉及本地聚合规则的物理过程以增量方式进行增长或演进[6]。 因此，在许多情况下，所得到的拓扑结构是复杂的，并且偏离简单的常规模式，例如方形网格。 这种街道网络的共同特征在很大程度上是未知的，其定量描述是缺乏的。

当处理城市网络的架构（包括这里考虑的网络类型，还有其他路由网络）时，可以考虑两种不同的方法。一个是探索在预定义网络之上可能出现的动态模式。在这个近似中，关键问题将是如何最佳地分配物流，以使拥塞（效率）被适当地最小化（优化）。正如一些作者[7-9]所讨论的，需要充分考虑两个关键要素，即避免大的弯路，降低成本，这与路径的长度成正比。使用波尔兹曼和达尔文策略，可以找到最优解[10]。这种方法处理全球能源功能，并且需要解决一类沮丧的优化问题。毫不奇怪，最佳网络位于两个极端情况之间。我们在这里采取的不同方法是将街道网络的拓扑组织作为静态对象进行探索。在没有计划建筑物的证据工作的情况下，这种方法是有价值的（因此不涉及全球优化）。在这种情况下，网络是由分布的一组个人执行的本地决策的结果，这些人根据多个约束作出决策，而不一定与全局绕行长度相关联，或有效的流量。如图所示，实际的街道网络也位于两个众所周知的图形之间，这里用作空模型进行比较。

在本文中，我们利用图论作为一个有力的工具来表征和比较非规划住区街道网络的拓扑结构，并提供其演变和功能特性的视角。 本文的组织结构如下：第2节描述了这里使用的网络数据集。 在第3节中，我们量化了这些网络中的拓扑模式。 在第4节中，分析了网络的有效性，并在第5节中研究了网络的鲁棒性。第6节介绍了一般性的讨论。

2 街道网络

一些理论研究一直在探索城市地图和道路网络中存在的一些相关模式。 其中一些研究涉及将街道视为所谓的信息城市网络的单位[11,12]。 因此，如果两条街道相互交织，两条街道是相连的。 以这种方式，拓扑模式用于描述城市结构或道路网络导航中的信息模式[13]。 在这里，我们将分析集中在由自组织的街道网络显示的拓扑和几何图案中。

任何这些街道网络（SNS）可以通过嵌入式平面图[14] G =（V，E）来描述V = {（vi，xi，yi），（i = 1，...，n）}是由它们的（x，y）位置和直径表征的n个节点的集合，E = {（vi，vj）}一组m个边缘/连接之间节点，并以其长度dij为特征。 边缘cor-响应连接两个节点的街道的子部分。节点对应于正方形，街道和死胡同之间的交点。 在这里我们学习一个大的

一套41个非规划住区。 这些网络对应于城市环境，通过至少部分发展，没有进行全球监督。 选定的网络主要对应于定居点起源于欧洲，非洲，中美洲，印度和一个棚户区（El Agustino，利马，秘鲁）。

在数据库中选择的街道网络由NXI GESTATIO实验室维护的300张地图。这里分析的样本对应于不直接接触强烈异质性的最大区域，例如河流或与其他类型的城市化接口。 样品是方形分隔的，以便按照Caminos等人介绍的标准为所有样品引入同等的人工限制。[15]。 边缘和节点完全对应于公共空间。 私人空间如庭院，花园或私人路径被排除在外。 因此，我们建立了一个选定的二进制地图数据库，其中公共空间用白色和私人空间表示。总结了这些网络的主要特点。 它们相对较小，范围从45到339个节点，并且定义单个连接的组件（即，通过连接每两个节点的图的路径）。

在小世界和无尺度网络研究中作为参考的理论模型（如标准，Erdouml;-Renyi随机图[16]）的标准比较失去了在平面图的框架中的相关性[17]。 不幸的是，在随机平面图上几乎没有一般的分析结果（如路径长度或度分布）[18,19]，它们基本上包含在本文中考虑的有限尺寸网络上的渐近结果。在这里，我们将重点比较两个极端模型，即最小生成树（MST，[20-22]）和贪婪三角测量（GT）。像这里分析的定居点一样，它们是平面图。给定相应城市网络中的节点V集合，MST定义将所有节点连接到单个连接组件的最短树。我们使用Kruskal的算法[21]来构建MST，也就是说，边缘按照它们的长度的增加进行排序，并且按照排序顺序添加到图表中，并且只有当它们不引入循环时。三角剖分定义了一个平面细分，其边界是三角形，其顶点是V的点[23]。有几种计算三角测量的方法，GT是一个非常简单的三角测量集合[34]的情况：可以通过增加其长度的顺序对所有边进行排序，并浏览列表边缘，只有在不产生与已添加的任何其他边缘的任何交点时才插入每个边。

3拓扑模式

他的度数分布的特征是它们是单一的，即它们遵循可以通过指数衰减近似的快速衰减P（k）〜e-k /xi;。 度相关性通过计算“纽曼提出的“Gamma;”系数其中ji和ki是端部处的顶点的度数i = 1，...，m，c = 1 / m，m为边数。 当Gamma;= 0时，节点与其相邻度独立连接。 Gamma;gt; 0表示具有给定度的节点优先与具有相似度的节点连接的分类网络，而Gamma;lt;0对应于节点优先连接到具有相同度的节点的分解网络。 大多数街道网络似乎是分拆的，其中17个是显着的，三个网络具有积极但不显着的分类系数。

街道网络显示没有或很少的聚类（即三角形的概率较低）。 这是预期的，因为街道的平坦度至少在当地的规模上。 一对平行的街道的交汇将倾向于增加四个元素的周期存在，如网状系统所预期的那样。 由于SNS是平面图，我们可以轻松量化这些网络中的周期数量.

4 网络效率

可以通过分析所有节点对之间的最短路径来获得路径系统的特征。 街道网络是空间扩展的网络，因此可以使用两种类型的距离度量来实现最短路径：拓扑和几何。 拓扑路径长度根据路径经过的节点数量计算; 而几何路径长度是路径所经过的所有边缘的长度的总和。 最近，Latora和Marchiori [26]提出了所谓的“平均效率”。其中d *对应于theode i和j之间的最短路径。 对于给定的图G，所谓的全局效率Eglob是通过计算图G中所有路径的平均效率度量E（G）和E（Kn）之间的比率来确定的，这个顺序为n的完整图形中的所有路径的平均效率（它具有相同的功能） 顶点为G，但全部为n（n-1）/ 2边缘）：

Eglob = E（G）/ E（Kn）。（5）

我们可以分别使用几何或拓扑距离来计算两种不同的全局效率测度，Eglob，G和Eglob，T。几何效果Eglob，G也与低值（Elgustino中的最小Eglob，G = 0.4）与完整图中获得的值（最大的Eglob，德国罗斯托克的G = 0.837;

5 网络健壮性

同时使用MST和GT网络。对于每个实验，我们确定了进化的最大连通分量的相对大小S，即包含在其中的节点的分数，具有分数f断开的节点（每个网络1000个运行）随机或选择性删除节点。我们将随机和选择性鲁棒性（分别为fR和fS）定义为S在每种类型的去除中达到S = 0.5值所需的f值。

分片显示了所有SNS中的共同特征（图4a）：当S的减少显然较慢节点随着比较高的节点首先断开连接而断开连接。这种性质与经典随机图中观察到的特征非常不同，其中S的减少在随机和选择性删除节点。实际上，在相应的MST和GT网络中观察到的SNS的分割也是非常不合适的，其中大部分断层在随机和选择性回归的情况下相似（图4b）。但是，碎片发生的速度SNS之间显示出很大的差异性，fR = 0.085（埃尔阿古斯丁）到fR = 0.327（罗斯托克）。有一个十fR随着网络大小n而减小，因为它是在MST网络中，在GT网络中，取决于n（图4c）。但是，在SNS中对于等效大小n的网络仍然存在强大的变异性。

6讨论

城市中心是人类社会建设的第一个复杂网络之一。 它们涉及到几层复杂性，为经济和社会演进提供了基础。 其中最明显的描述之一就是处理其静态结构，如街道地图所示。 在某些情况下，这些地图是高度定制的（例如在曼哈顿或巴塞罗那核心），但许多其他地图（如这里分析的地图）显然偏离了格栅图。 在城市定居点，特别是分散的增长，并且更接近自然界观察到的其他模式，如蚂蚁隧道网络[17]。 在本文中，我们提供了一个大型自组织SNS样本的第一次分析，它补充了Carvalho和Penn最近对大规模城市空间组织的分析[5]。 这里报告的基本情况总结如下：

（1）街道网络是平面图，这种平面性强烈地限制了它们的异质性，这已被证明是相当有限的（它们表现出单一尺度链接分布稀疏，（k）asymp;2.5）。

（2）相关分析显示，其中大部分网络是diassortative，因此节点具有较大的他们之间往往是无关的。

（3）通过欧拉公式，我们定义了一个网格度量M，其量化了与两个极值相比的面部的相对量

树木和三角测量。 我们研究的很多SNS远远没有订购方形网格，而是像树状结构那样更密切，SNS更密集

几乎不到达正方形网格的一半周期。 我们的测量表明，诸如聚类效率（和任何仅测量短周期的变量）之类的措施将不能捕获特征存在,尽管我们的研究结果表明，这些周期中几个周期的存在可能对几个网络属性有很强的后果。

（4）网络效率已被用来表征

Latora-Marchiori措施[26,32,33]。 虽然这一措施涉及到节点之间的最短路径长度，而不是在这些路径上发生的实际跳闸和流量，但是我们的结果对于几个网络特性与其对路径的影响之间的关系感兴趣， 这可能会严重影响这些网络上发生的流量和流量。 事实上，效率在不同的网络之间显示出很大的差异，从树木的价值到接近三角测量的值，并且与M很好地相关。 因此，在SNS中存在多条路径和减少绕行似乎主要是通过网格的轻微增加来实现的。

（5）对于表现出有限的分布均匀性的生态系统[30,31]，SNS ex-选择性去除下的hibit脆性。 鉴于他们的spa-逐渐扩展的特征和分散的起源，去除高k节点具有重要的影响网络可靠性。 相反，删除低k节点（最常见的）没有什么效果。 节点删除的这些效果不会由MST和GT net-作品，对于这两种类型的作品都是类似的。 SNS中的鲁棒性水平与其网格度之间的相关性表明SNS的这些属性可能与其周期有关结构体。

SNS发展中隐含的进化规则的本地特征通过他们的历史来形成。 我们研究发现的模式表明，自组织的SNS显示了不被其他标准随机图表共享的特征。 他们不喜欢贪婪的三叉树和生长树。 在一个极端，我们有SNS对应于曲折的树状结构的组装。 从这个极端来看，存在一系列SNS，其特征在于程度分布的网格和异质性的渐进和并行增加。 SNS拓扑结构的这些渐进变化导致网络对于随机失败而言是强大的，并且在关键节点移除的同时也是脆弱的。

值得注意的是，这里研究的街道网络与自然界中至少一个其他类型的平面网络（即蚂蚁监控网络）共享这些结构性质的大部分[17]。 特别地，两种类型的网络在成本和效率之间呈现类似的关系：一旦引入几个周期，效率就会急剧增加，而在循环数达到网格状模式的值之前饱和。 最近在Cardillo等人研究的另一组街道网络中也观察到相同类型的关系。[34]。 他们的样本跨越了相对成本比这里研究的相对成本更高的网络，作者能够估计相对效率的饱和度在0.8附近，相对成本高于0.25。

可以注意到，这里研究的一些街道网络至少展示了一个在隧道网络中从未被看到的特征：反循环。 这种特性似乎与树状网络和网状网络之间的街道图案相关联。 在这些网络中，可以通过部分合并的等级树状结构的存在来解释反循环。

与SNS拓扑中的这些变化相关的因素是什么？ 可以推测，几个SNS的全局效率差可能与路径系统的不同使用（例如，

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