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移动点的时间-地理密度估计对象

乔妮波动

南佛罗里达大学地理学系，美国佛罗里达州坦帕市

摘要：提出了一种运动点目标密度估计的时间-地理方法。该方法将传统的核密度估计(KDE)技术与时间地理技术相结合，生成一个连续的强度面，该强度面表征了运动物体在固定时间范围内的空间分布。这一任务是通过计算密度估计值来完成的，密度估计值是由对象时空路径中每一对连续控制点生成的地球椭圆的函数，并以类似于KDE的方式将每个位置的这些值相加。这种方法的主要优点是:(1)正强度只分配给运动物体的势程区域内的位置;(2)它避免了任意的参数选择，因为平滑的数量是由物体的最大势能速度控制的。以一个样本数据集说明了时间-地理密度估计技术，并讨论了其局限性和未来的工作。

关键词:时间地理，运动物体，密度估计，点模式分析。

1.介绍

空间点模式分析方法在地理科学中被广泛地用于描述一组以几何点表示的对象或现象的分布。在统计文献中，感兴趣的点对象被称为事件，而研究区域内的所有通用位置被称为点。点模式分析可以采用多种形式,从简单的一代的足迹描述事件所占据的面积测量的空间格局是否事件显示完整的空间随机性集群,或者规律更复杂的聚类分析的方法,识别和划分单个集群事件。

在gis科学中应用最广泛的点模式分析方法之一是核密度估计(KDE)，它从表示事件密度的空间变化的点模式生成一个光滑、连续的表面。KDE com-使用一个核函数计算研究区域内每个点的空间强度，该核函数根据事件与每个点的距离对事件的贡献进行加权。KDE通常被用作“热点”分析的一种形式，其目标是确定事件的空间强度异常高的位置。例如，KDE已经用于识别犯罪、疾病、死亡、交通事故、雷击等热点。此外，KDE还被用于表征植物、动物和人的空间分布特征。

尽管KDE在许多学科中得到了广泛的使用，但一些作者指出，该技术在某些情况下以及特定类型的点模式中表现很差。具有符合复杂形状的事件空间分布的点模式对于KDE精确描述来说尤其成问题。对于线性排列的事件，KDE对网络数据模型的适应性已经被证明是一个有用的解决方案。KDE产生偏倚结果的另一种情况是由移动对象生成的点模式，例如记录单个行人或动物随时间的移动的点模式。KDE在这种情况下表现不佳的一个解释是，当单个对象在空间中移动生成点模式时，违反了独立事件的假设。根据这一观察结果，需要一种移动点目标的密度估计技术来更可靠地描述这些类型的模式。

本研究介绍了一种移动点目标的密度估计方法，其中事件代表了单个个体随时间的观察空间位置。该方法将传统的密度估计与时间地理技术相结合，生成一个连续的强度面，表征了运动物体在固定时间范围内的空间分布。所得到的强度面表示物体位置的相对频率分布;换句话说，它标识了对象最常被定位的特定位置。这种方法对于分析各种运动物体的分布可能是有用的，如行人、动物或船只。

本文的其余部分组织成以下几个部分。首先，第2节提供了详细介绍空间点模式的核密度估计机制的背景知识。然后，第3节概述了时间地理和相关的数学符号，为本研究提供了基础。第4节详细介绍了新的时间-地理密度估计技术，并通过一个实例进行了说明。最后，本文将在第5节中讨论结果和对未来工作的指导。

2.核密度估计

核密度估计是统计中著名的通用数据平滑技术，双变量KDE常用于空间点模式分析。在后一种情况下，该技术在点模式上应用一个内核函数来生成一个连续的曲面，该曲面量化了每个点上事件的密度。任意点x处的双变量核密度估计值f可计算为:

其中，样本容量n包含事件X, X，hellip;，X和K(y)表示在给定的条件下对每个点和事件之间的距离进行操作的内核函数带宽h 。可以使用任何积分为1的连续、非负和径向对称的核，例如Gaussian或Epanechnikov。内核的选择并不是特别重要，因为大多数都会产生类似的平滑模式。平滑程度由内核的带宽(有时称为窗口宽度)控制，它本质上指定了事件对密度估计的贡献范围。可以任意选择带宽，也可以使用试图找到最优值的算法。此外，带宽可以是固定的(常数)或自适应的(可变宽度，取决于局部密度)。也可以为x和y方向指定不同的参数。说明了KDE在空间点模式中的应用，使用了四次核和x和y值相等的固定带宽。

KDE应用于空间点模式

正如上图所示，虽然KDE通常可以识别事件的热点，但是该技术有重要的局限性。它的主要缺点之一是对带宽选择的敏感性，因为不同的值会产生截然不同的结果。其次，对于移动点对象产生的点模式，KDE的表现很差。由于运动目标同时具有空间和时间分量，而后者在空间点模式分析中常常被忽略，因此结合时间的密度估计技术可以克服独立假设，提供一种更可靠的分析方法。如下一节所述，时间地理学可以为这种类型的分析提供一个框架。

3时间地理

时间地理学是由Hagerstrand首次提出的概念，它为模拟人类行为和相互作用提供了一个框架，给出了已知的空间和时间活动的观察结果以及对运动能力的限制。米勒的时间地理的后续数学公式为《地理科学》分析运动物体提供了基础。在这里，只有时间地理的基本概念被简化了，因为它们与当前的研究有关;要获得更全面的文档，读者应该参考Miller在中的作品，如下所示：运动物体在时空中的运动轨迹可以表示为时空路径P(t)，它由一组有序控制点C和一组路径段S组成。每个控制点都与一个已知的时间实例和一个一致的空间位置x相关联。紧随监护后的控制点记为c_{i j}因此，一组n个控制点可以用数学符号表示为:

其中S和E表示起点和终点。在本研究中，我们假设控制点是随机或定时采样的位置，从一个物体的运动轨迹随时间的推移。从有序控制点列表中，时空路径的各个段可以估计为:

假设速度均匀，空时路径近似使用直线段来连接相邻的控制点。在二维空间中绘制的一组点的样本时空路径如图所示

在地理空间中绘制的时空路径

从运动物体的时空路径出发，可以构造一个时空棱镜。在已知控制点施加的空间和时间约束以及物体可能的最大速度v的情况下，时空棱镜为所有时间实例描绘出物体可能被定位的所有位置。Miller为时空棱镜提供了一个完整的数学公式，尽管这里只重复了相关部分的计算。我们感兴趣的是任意两个相邻控制点的潜在路径区域。地理椭圆在地理空间中描绘了所有可能到达的位置。

在到t的时间间隔内;_{i j}换句话说，它是时空棱镜在那段时间里的几何轨迹。地理椭圆可表示为:

在║║符代表一个距离。实际上，地理椭圆是以两个控制点为中心的椭圆，其大小和形状取决于控制点之间经过的时间和距离以及最大速度值。注意，这个公式与Miller略有不同，因为省略了活动参数，因为它是不必要的，因为本研究假设控制点记录在时间实例中，没有任何已知的活动持续时间。此外，假定最大速度参数为常数。图中给出了两个控制点的样本地理椭圆。

xi

xj

为时空路径上的两个控制点构造的地球椭圆

时空路径和棱镜，以及它们的扩展，如地理椭圆，为地理分析运动物体提供了基础。这些基本概念为各种分析提供了基本的分析工具，如量化对象之间的时空交互作用或测量对象在给定移动限制的特定位置的可达性。然而，在时间地理的背景下，一个很大程度上仍未被探索的领域是密度估计。Winter对基于位置不确定性的时空棱镜概率分布生成这一相关主题做了一些初步的探索工作，尽管它与下面的时间-地理密度估计方法有所不同。

4 .时间-地理密度估算

本节提出了一种运动点目标密度估计的新方法。该技术的目标是生成一个连续的强度表面，该表面特征是在固定的时间范围内对象的空间分布。这可以通过将传统的核密度估计与时间地理技术相结合来实现。如果考虑到KDE中的内核与时间地理中的地理椭圆之间的对应关系，那么这种集成就很简单。

回想一下，内核决定了一个事件对空间中每个位置的密度估计的影响程度。一个点，接近一个相对大量的事件将接受高强度。这是因为放置在每个事件上的内核在那一点上重叠，并且产生的强度随着个体的增大而增大，对每个内核的值求和。虽然这种方法对于独立的、静止的物体可能是合理的，但是对于移动的物体就有问题了，原因如下。考虑一个简单的场景，其中有两个记录移动对象位置的事件点模式。可以将一个内核放置在这两个事件上，以计算内核密度估计值。假设使用离散核，使每个事件的影响只扩展带宽的距离，如图所示。4.但是，如果考虑为这两个事件计算的地球- -椭圆，显然核密度估计会产生误导，因为大于零的强度将分配给在时间- -地理限制下物体不可能被定位的地区。这一观察结果或许可以解释为什么其他研究显示KDE在移动点对象方面表现不佳。虽然KDE对带宽的选择很敏感，但是结论不受影响，因为只有问题的规模发生了变化。

沿时空路径的两个控制点的内核(虚线)和地理椭圆(实线)

解决这一问题的一种可能的方法是使用地理椭圆作为内核的替代物来计算密度估计数。由于在相邻控制点之间的时间间隔内，地球椭圆描绘了该对象的所有可能位置，因此直觉上只有该区域内的位置接收到大于零的强度。当记录一条时空路径上的多个事件时，每对相邻的点都会生成一个地理椭圆，并将密度估计值叠加在重叠点上，与传统的KDE方法相同。每个地质椭圆内的密度可按类似于核的距离加权。

沿时空路径的三个控制点的重叠的地质椭圆

采用原KDE公式(eq)可计算任意点x的时间地理密度估计值使用时间地理位置:

其中，将核替换为由eq导出的地理椭圆的函数。对于这个函数，分子是空间中给定点到物体位置的距离乘以i和j的和，分母计算的是在给定最大可能速度的时间间隔内物体可能走过的最大距离;这个值等于KDE中的带宽。然后，用与传统核函数相似的方法对这两个距离的比值应用地质椭圆函数。假设地质椭圆函数是离散的，在其边界外不计算任何强度，这两个距离值之间的比值决定了给定点的强度。如果使用统一的函数，那么强度将均匀地平滑整个地球椭圆;换句话说，假设在地球椭圆内的所有位置上，物体出现的可能性是相等的。如果使用距离加权函数，例如线性衰减函数，那么靠近已知控制点的位置和沿近似时空路径的位置将比靠近地球椭圆边缘的位置获得更高的强度。如果对象在时间间隔内不太可能以最大速度移动，则此方法更合理。以类似的方式更新公式的其余部分，用最大旅行距离替换KDE带宽的所有实例。此外，n-1替换了n，因为有n-1个地理椭圆从n个控制点生成。

为了说明这一点，我们将时间-地理密度估计技术应用于一个假设的100个控制点的集合，图中用于说明KDE的事件点模式与此相同。1.在这种情况下，假设控制点在物体运动轨迹中以相等的时间间隔采样。虽然公式可以适应不规则的时间间隔，但为了简单起见，我们选择了规则的间距。物体在地理空间中的时空路径如图所示。6.每个单元的宽度为1个距离单位，而控制点之间的最大距离为8个单位。换句话说，如果控制点之间有1个单位时间间隔，那么物体的最大速度就是8个距离单位/时间单位。无花果。6(a)给出了应用统一的地理椭圆函数时的时间-地理密度面，图6(a)给出了应用统一的地理椭圆函数时的时间-地理密度面。6(b)对于线性衰减函数也是如此。

均匀衰减和线性衰减的地质椭圆函数在同一区域内均产生正值，但密度分布不同。均匀函数创建了一个更均匀的分布，同时仍然突出了控制点密度更高的区域。另一方面，线性衰减函数对控制点附近和沿近似时空路径的区域计算出相对较高的强度。

如图6所示，说明了与传统KDE相比，时间-地理方法的优势。虽然KDE对参数选择很敏感，但选择的带宽尽可能与新方法直接比较。与新方法相比，KDE产生了明显的优势。

使用均匀(a)和线性衰减(b)地质椭圆

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