非最小耦合暴胀场在de Sitter空间的红外增强效应研究文献综述
2020-04-15 21:28:54
De sitter时空是在1917年荷兰天文学家Willem de Sitter从真空的爱因斯坦方程得到的最基本、最对称的时空之一，仅由一个常数H描述，是具有最大对称群的正的常曲率时空，用来描写加速膨胀的宇宙[1]。而近年来宇宙学的观测表明我们的宇宙正在加速膨胀，很可能趋向于一个正的常曲率时空。这就使得对de sitter时空中的物理性质的研究变得如此重要。另一方面，1947年H.S. Snyder为了解决量子场论中的发散问题提出了空间量子化的概念，即非对易空间，Snyder巧妙的利用4维动量描述了非对易空间的坐标算子，这个4维动量空间就是de sitter空间[2]。因此对de Sitter时空下量子场，包括相互作用的量子场的研究变得重要起来，甚至对量子引力性质的研究也会有所帮助。
对于与引力最小耦合的自由标量场不存在de sitter不变的真空态，传播子不表现无质量场所要求的光锥奇异性[3,4]，这是由于在动量空间的积分会导致传播子的红外发散[5]。然而对于最小耦合的标量场真空态的缺失无关紧要，因为我们能没有能探测其量子态的相互作用。我们感兴趣的是相互作用的标量场否存在de sitter不变的量子态。对于这一问题，目前已有了很多研究，Starobinsky和Yokoyama通过随机方法得到了在de sitter空间中自相互作用标量场存在平衡态,并计算了超越视界模的关联函数[6,7]，Bj#246;rn Garbrecht和Gerasimos Rigopoulos,利用量子场论方法计算得到无质量的最小耦合的标量场在de sitter空间中的红外关联并且存在自修正现象[8]，之后又通过随机方法和量子场理论两种方法进行验证均可得到相同的结果[9，10]。J. Serreau和F. Gautier利用动量空间中Schwinger-Dyson方程的求解也得到了相同的结果[11]，文献[10]通过比较随机方法和QFT方法的费曼图，发现它们在计算最小耦合标量量子涨落时是一致的。
目前对de sitter空间的红外效应的研究大多用的是非零质量的λ#981;4标量场（最小耦合）,文献[12]总结了自上世纪80年代来所做的相关研究。而我们希望看看对于非最小耦合的标量场，在弯曲时空中的红外项会是什么样的结果，特别是在后时极限下是否会像平直时空那样其红外发散是否会被自身相互作用所修正，并用量子场论方法和随机方计算传播子的红外涨落，将传播子按照最小耦合系数λ幂级数展开，考虑当非最小耦合系数较大时会对传播子的红外涨落有什么影响。
与引力非最小耦合的标量场模型可以解释宇宙早期的暴胀现象，以及当今宇宙的加速膨胀现象。其拉氏量中存在标量场与引力场的相互耦合项，在没有动能项gμνΦ,μΦ,ν时，非最小耦合项表现出暗物质性质[13]。因此对于早期宇宙的研究，非最小耦合项有着重要物理含义。而近年来微扰量子引力的发展已经成熟，对于来自宇宙暴胀的量子引力效应已经可以观测[14]。本文将对与引力非最小耦合的暴胀场在de sitter空间中的红外增强效应进行研究，其意义在于深入了解非最小耦合项对暴胀场的影响，也希望通过半经典的研究对量子引力的性质研究有所帮助。
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2. 研究的基本内容与方案
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考虑非最小耦合的标量场的拉格朗日量为：公式（1）
其中势能项为：公式（2）
其中ω2Gμν为最小耦合项，ω2为耦合系数，ω具有质量倒数的量纲。λ为最小耦合系数，微扰理论要求 |λ|lt;4Π，但在de sitter空间中mlt;lt;H时不再成立。超越视界的模存在红外增强效应及微扰理论有效的区域为[7]：公式（3）
本文将通过随机方法和场论方法分别讨论，并比较它们的费曼图。利用随机方法[15,16],分离出标量场中的长波部分，再带入Klein-Gordon方程得到Langevin 方程和 Fokker-Planck 方程,然后通过随机方法求解出Φ的平衡态解，最后再计算Φ的涨落lt;Φ2gt;的期望值。场方法是通过直接求解Klein-Gordon方程，可以用来选择的坐标有多种[17]，通过在对最小耦合标量场的研究发现在共行坐标下求解也许更加方便，其度规：公式（4）
