摘 要

近十年来，随着我国基建事业的蓬勃发展，各种大型基础设施和大型建筑不断涌现出来，与此同时，人们也越来越关心建筑的安全性，于是有限元建模技术方法在实际工程中得以广泛应用。但由于施工和环境的影响，实际的工程结构与所建立的初始有限元模型会有一定的偏差，有时甚至误差很大。如果不对建立的初始模型加以修正，得出的分析结果与实际出入较大。因此，非常有必要开展有限元模型修正的研究。在进行模型修正时，测量往往不完备，从而导致修正问题求解的不适定性。本文简要地总结了有限元模型静力修正的已有方法，在此基础上，开展了基于正则化的梁结构静力修正的研究，在模型修正中使用Tikhonov正则化技术，即L2范数正则化技术，对欠定矩阵方程的求解进行优化，得到修正系数稳定的近似解，从而实现了对混凝土梁结构模型修正。本文主要做了以下几方面的内容：

1、介绍几种常见的用于求解不适定问题的正则化技术。重点介绍Tikhonov正则化技术和Landweber正则化技术。Landweber迭代正则化法具有求解容易、稳定性高的优点，但其算法应用于大型结构时会出现收敛速度慢的缺点，而Tikhonov正则化技术的收敛速度快，求到的解也比较稳定。因此在本文中采用Tikhonov正则化技术。

2、介绍一种不考虑测量误差的基于静力加载的有限元模型修正方法，该方法利用静力凝聚法和一阶泰勒展开建立修正系数的控制方程，然后利用正则化技术对欠定矩阵方程的求解进行优化，得到修正系数的近似解，从而达到模型修正的目的。

3、选用简支梁作为模拟算例进行分析，结合梁的一般形式，在模拟的实际模型算例中设置刚度退化，得到实际模型的竖向位移响应，再根据文中的方法计算结果得出理想模型的修正系数，比较初始模型修正后的竖向位移响应。说明本文介绍方法的可行性。

4、分别将混凝土简支梁分为8单元、15单元、45单元的三种工况作为模拟算例，研究本文方法的修正效果，并与最小二乘法得到的结果进行对比。结果表明，本文方法得到的解的误差要比最小二乘法得出的结果小，从而说明本文方法的优越性。

关键词：模型修正；静力凝聚；修正系数；正则化

Abstract

In nearly a decade, with the vigorous development of the our country construction enterprise, all kinds of large-scale infrastructure and large buildings emerge unceasingly, at the same time, people also more and more concerned about construction safety, the finite element modeling method is widely used in practical engineering. However, due to the impact of construction and environment, the actual engineering structure and the initial finite element model established will have some deviation, sometimes even a large error. If the initial model is not modified, the analysis results obtained are of no reference value. Therefore, it is very necessary to carry out the research of finite element model modification. When the model is modified, the measurement is often incomplete, which leads to the unsuitability of the solution of the modified problem. This article briefly summarizes the existing method of finite element model static correction, based on this, carried out based on the research of regularization of the beam structure static correction, used in the model modified Tikhonov regularization method, namely the L2-regularization method, optimize the underdetermined matrix equation solving, corrected coefficient and stable approximate solution, so as to realize the structure of concrete beam model is fixed. This paper mainly focuses on the following aspects:

1. Introduce several common regularization methods for solving ill-posed problems. The Tikhonov regularization method and Landweber regularization method are introduced. Landweber iterative regularization method has the advantages of easy solution and high stability, but its algorithm has the disadvantage of slow convergence when applied to large structures, while Tikhonov regularization method has fast convergence and relatively stable solution. Therefore, Tikhonov regularization method is adopted in this paper.

2, this paper introduces a regardless of the measurement error of the finite element model updating method based on static load, the method using the static condensation method and the control equation of first order Taylor expansion to establish correction coefficient, and then use regularization method for solving the underdetermined matrix equation is optimized, the approximate solution of the corrected coefficient, so as to achieve the purpose of the model updating.

3. The simply supported beam was selected as the simulation example for analysis. Combined with the general form of the beam, the stiffness degradation was set in the simulation example of the actual model to obtain the vertical displacement response of the actual model. The feasibility of this method is illustrated.

4. The concrete simply supported beam is divided into 8 units, 15 units and 45 units, respectively, as simulation examples, to study the correction effect of the method in this paper, and to compare with the results obtained by the least square method. The results show that the error of the proposed method is smaller than that of the least square method.

Keywords：model updating；static condensation；correction coefficient；regularization

目录

第一章 绪论 1

1.1引言 1

1.2 研究概况 2

1.3 结构模型修正的主要方法 3

1.3.1 矩阵型修正法和参数型修正法 3

1.3.2 静力、动力、静动力结合三种模型修正方法 4

1.3.3 其他方法 5

1.4 本文研究的主要思路 5

第二章 正则化方法 7

2.1 引言 7

2.2 正则化方法的研究现状与发展 7

2.3 一般的正则化理论 8

2.4 Tikhonov正则化 9

2.4 Landweber正则化 10

2.5 本章小结 10

第三章 基于正则化技术的梁结构模型修正 11

3.1 引言 11

3.2 基于静力竖向位移响应的修正系数控制方程 11

3.2.1 静力凝聚法 12

3.2.2 梁结构的整体刚度方程 13

3.2.3结构模型修正系数及控制方程 14

3.3 基于Tikhonov正则化技术的修正系数求解 15

3.4 本章小结 16

第四章 简支梁模型修正模拟算例 17

4.1 引言 17

4.2 数值算例 17

4.2.1 8单元简支梁算例 17

4.2.2 15单元简支梁算例 21

4.2.2 30单元简支梁算例 25

4.3本章小结 30

第五章 结论与展望 31

5.1 结论 31

5.2 展望 31

参考文献 33

致谢 34

第1章 绪论

1.1引言

改革开放以来，社会变革速度加快，城镇化发展迅速，基建事业蓬勃发展，我国也在国际上获得了“基建狂魔”的称号。随着身边大型复杂的建筑结构数量的增加，我们对建筑结构的功能要求也相应地水涨船高。在当前的中国，超高层建筑、大跨度桥梁、新兴港口、大型地下通用工程犹如雨后春笋，而且结构也愈加复杂，仅就武汉市来讲就有十一座跨江大桥、高架桥总里程就达到了200公里、国内净高度前十的武汉绿地中心等等，与此同时，有限元技术在结构方面的应用也随着我国基建事业的发展而变得越来越广泛。然而，在工程设计阶段建立有初始理想模型时，建立的有限元计算模型的响应数据与实际结构一般都会有很大差别。于是陆续有学者开始研究怎样建立一个稳定有效的有限元模型，然后利用这个模型代替实际结构或者传统的真实试验去模拟建筑结构的受荷和破坏形式，利用有限元建模可以将复杂的信息交给计算机处理，省财省时。但这么做的前提是构建的有限元模型在相同荷载下的响应和实际模型基本一致，然而无论是在工程的设计阶段、施工阶段还是使用阶段，利用有限元模型理论建立初始模型的时候都必须采用在规范条件下的简化和规定，改变了结构的外部客观条件。并且，因为施工环境各不相同、人工操作中有很多不确定性、数据的测量和统计误差的不可避免以及测量节点有限制等因素，初始模型分析结果和实测数据的一定会存在误差，这大大降低了有限元模型分析结果的可参考性。

虽然，我们建立的初始模型不可能和实际结构百分之百地符合，但是我们可以运用适当的方法去修正它，使它的响应值在原有的基础上不断迫近真实值，利用这个修正后的有限元模型去分析实际结构，得到的结果会更加具有参考性。

图 1.1 韩国圣水大桥倒塌

从20世纪90年代年开始，世界各地经常发生桥梁事故。1994年，韩国圣水大桥高峰时期发生严重事故，第五桥墩和第六桥墩之间的混凝土板整体坍塌落入水中，造成了50人伤亡；2007年，同样是在交通高峰时期，美国35号州际公路西线密西西比河大桥桥面突然坍塌，造成了超过150人伤亡，经调查是由于养护不足，桥架和桥梁支座有腐蚀现象。为了避免这些人为灾难的发生，陆陆续续有研究人员着手建立起一些有限元结构模型，来模拟实际的桥梁结构，找出损伤位置并评估损伤程度。通过收集实际结构的一些监测数据，利用模型找出结构存在的损伤。与此同时，和结构所配套的健康监测系统也逐步建立起来并发挥重要作用。杜彦良^[1]等人利用基于模型修正的方法来评估武汉长江大桥的损伤状态，通过实时监测武汉长江大桥的荷载响应参数，获得各主要节点的震动、挠度、加速度等关键要素，利用监测数据，找出损伤位置并确定损伤程度，即使测量的结果出现了误差，我们也能够通过模型对大桥的体现，找出问题所在，避免事故的发生，以此来达到我们的目的，虽然会有误差，但从定性定量上和实际情况不会有太大的出入。宗周红^[2]、李红男^[3]等重点整理阐述了国内外结构健康监测的研究内容和方法。

图1.2 武汉长江大桥的测点布置

本文基于静力的竖向荷载响应值结合Tikhonov正则化技术，利用Matlab软件建模，实现对混凝土梁结构的有限元模型修正。要求能做到知晓正则化原理，编写正则化程序并实现基于正则化技术的有限元结构模型修正。主要做到以下几点工作：先确定结构的初始基准模型的修正参数，不考虑测量误差，利用静力凝聚法，对混凝土梁结构理想模型和实际模型的静力平衡方程进行变换，再通过一阶泰勒展开对方程进行缩减，然后得到初始模型修正系数的控制方程。在控制方程求解的过程中，由于质量和刚度矩阵是欠定的，可以利用正则化技术解决欠定矩阵的病态性问题，基于模拟算例的竖向位移响应值直接对不适定问题进行求解，得到稳定准确的修正系数，从而达到模型修正的目的。

1.2 研究概况

对有限元模型修正的研究起源于20世纪50年代，Gravitz^[4]为了解决在航空航天领域的工程难题，修正试验数据，以此解决了飞机的结构的柔度矩阵，从而解决了共振试验中的地面测量和飞机测量正交化的难题。由于满足该领域的精细要求存在着很大的难度，为了达到研究人员更好地了解结构性能的目的，需要研究人员进行大量的试验工作，然后对结构进行分析且加以修正，建立并且修正有限元结构模型，使有限元模型的实测结果能够对实际结构的力学特性。

在国内土木工程研究领域中，崔飞^[5]等人将有限元建模方法应用于桥梁结构损伤识别方面，基于桥梁的静载试验数据对建立的有限元模型修正分析，以此来实现更好地响应实际结构的损伤的目的；史文海^[6]研究出了一种新的土木工程结构损伤识别方法，该方法基于随机有限元理论，可以有效地识别结构的损伤位置和程度；吴晓菊^[8]从理论出发，回顾了静力修正和动力修正的一般理论和研究进展，并总结出了一种动力损伤识别方法；朱安文^[9]、朱宏平^[10]等人研究出了基于动力响应测量的动力模型修正方法，对矩阵型法、参数型法以及基于遗传优化算法的方法等做了详细综述，并分析了动力修正中存在的典型问题。

在国外的研究领域中，Berman^[11]等人利用拉格朗日乘子法，推演出了有限元模型矩阵型修正法，该方法精度和计算效率都比较高，但是不足的是，它无法保证矩阵的稀疏性，得到的结果往往会失去其物理意义，甚至出现反物理常识的特性（如某能量值为负值）；在此基础上，Kabe^[12]等人提出了一种新的元素型修正法，这种方法可以保证模型的带状稀疏，提高了模型的灵活性。

但随着有限元建模的复杂程度增加，我们不可能仅仅凭借人的经验建立起可以和真实结构做出百分之百完全相同响应的有限元模型。在建立初始模型的时候，模型的各参数一般而言都是不确定的，所假定的值与实际结构差别较大。如果我们可以建立大量的子模型然后整合起来，初始模型的不确定性的确是能够得到消除，但是工程量会相应地更加庞大而且繁琐，这是得不偿失的。因此，我们从实际测量数据和有限元模型出发，以实测结果推理出表征此问题的相关系数。这种方式一般被称作为反演，然而模型的单元数往往会大于结构的测量自由度，从而造成了问题的不适定性，得到的结果并不唯一。当我们求解一个不适定问题时，为了降低问题的不适定性，可以利用正则化的方法对解进行优化，得出一个稳定且最优的解。这样就可以得出一个稳定不扰动的修正系数解，使建立的模型能够较为真实的反映实际结构的荷载位移响应。在本文所提出的方法中，初始模型的建立的好坏程度可以直接影响模型的整体效果，所以一定要注意建立正确的初始模型。

1.3 结构模型修正的主要方法

1.3.1 矩阵型修正和参数型修正

按照不同的修正对象，可以将有限元结构模型修正方法分为两种：矩阵型修正法和参数型修正法。其中矩阵型修正方法出现得较早，此法将结构的质量和整体刚度矩阵直接进行修正，以此达到模型修正的目的。Berman和Barush^[13]最早使用拉格朗日乘子法将质量矩阵进行修正。凭借直接对质量矩阵和刚度矩阵修正的方式，让实际和解析的动力特性参数相关，从而达到让模型的实测数据完全吻合理论计算数据的目的，典型方法是最有矩阵法。其优点是计算简单，仅需简单的矩阵求逆便可以完成修正过程，不需要反复地分析广义质量矩阵特征值和进行复杂的迭代计算，适合多自由度结构体系。其不足是会改变矩阵的固有属性，因为每个元素都有其固定属性，元素的改变意味着模型参数改变。此外，矩阵一般为欠定矩阵，求伪逆矩阵可能对导致运算结果出现一些不符合物理常识的事件，例如动能为负值，这些缺点限制了其运用。

参数型修正法主要是在初始模型和实际结构的参数之间构造误差目标函数，然后使目标函数实现最小值，从而使误差最小，大多依赖于灵敏度分析的结果。通过参数型修正法修正后的模型物理意义明确，很容易和实际结构相比较，这一点是矩阵型修正法所不能比拟的。不足的是，参数性修正法的计算十分复杂，在灵敏度分析的过程中，参数矩阵往往必须通过求导才能求得某些元素，然而对于矩阵来说求导是一项非常复杂的运算，需要大量低效率的运算，而且可能会得到病态数据。