1. 研究目的与意义及国内外研究现状

一直以来，数学领域中对于不等式证明的研究从未停止过。由于不等式证明中，一向来都是强调解题的技巧性居多。本文就不等式证明运用具有一定步骤规律的拉格朗日乘数法进行解答，进而规避不等式证明探寻技巧性这一环。拉格朗日乘数法在解决数学问题中是重中之重，是人们为了达到某种目的而采取的手段和行为方式，运用拉格朗日乘数法以其为媒介，反复运用、多次研究，使之最终达到人们的预期效果。拉格朗日乘数法具有程序性，方法运用灵活且较易掌握，通过这样有程序性操作的方法，将其运用到不等式的证明中去，利用其程序化的解题步骤能更快更准确的解决种类繁多的不等式问题。同时，在对于多个变量的不等式证明中，该法更能发挥出强大的优势，改变以往解决不等式需要很强技巧性的问题。本文主要就是将拉格朗日乘数法活灵活现的运用到林林总总的不等式证明中去，虽然在某些特殊问题上，该法似乎显得较为繁琐，但事实上该法公式简单且易于掌握，以此代替了难以掌握的不等式证明中的多种技巧，并且在某些更为复杂的不等式证明中，拉格朗日乘数法的优越性会更为明显的体现出来。

国内外研究现状

自20世纪80年代以来，不等式研究在中国有相当大的进展，中国学者在几何不等式、代数不等式和分析不等式诸多方面有很多研究成果。其中，匡继昌的《常用不等式》中就记载了大量的经典不等式以及这些不等式的多种证明。最近十几年，对于多元函数极值问题，中国学者也不断研究拉格朗日乘数法在不等式证明中的应用，并发表了很多文献和期刊。

在国外，拉格朗日乘数法也占有重中之重的地位，国外学者不仅有将拉格朗日乘数法运用在不等式中，而且更多的是运用在其他领域，例如生物学、物理学、经济学、工程技术、科技、日常生活等等各方面领域。

不论是国内还是国外，拉格朗日乘数法均活跃于各个领域中，显而易见，拉格朗日乘数法的应用不仅在数学方面有重要的意义，甚至在其他领域，在往后的研究成果也只会越来越多，更加活用与各个领域。

2. 研究的基本内容

本篇论文主要讲述了拉格朗日乘数法在不等式证明中的应用。

通过了解多元函数的条件极值问题和掌握极值的判定方法，结合拉格朗日乘数法的操作程序运用到实际中解决不等式证明的问题。

首先，本文引入了均值不等式法、柯西不等式法等方法对个别简单的不等式例子进行求解，再与拉格朗日乘数法进行对照，以此更近一步了解拉格朗日乘数法的运用技巧；其次再加入一些实际的问题，对拉格朗日乘数法进行深入了解；最后，对一些高等数学中常常用来运用和研究的经典不等式，参考各种文献、期刊，结合其他学者的经验，进行总结，再列举其他高等数学中的解法，例如泰勒公式法、数学归纳法等，作为参照与拉格朗日乘数法进行对比，还有对于拉格朗日乘数法的约束条件列举了两种不同的构造，以此分析出约束条件的构造对于拉格朗日乘数法计算量简化有着不可忽视的重要意义。

3. 实施方案、进度安排及预期效果

实施方案：首先，与指导老师讨论并确定论文的研究方向，寻找相关资料和书籍以及预备的文献，并在网上搜索目前为止对于拉格朗日乘数法在不等式证明中的运用，以此进行初步的了解；其次，对于收集到各种资料进行反复阅读，并不定期的跟导师进行沟通和请教，并且开始着手论文的拟稿；接着，在对于拉格朗日乘数法加深理解的基础上着手对该法在不等式证明上的运用；最后，在熟练掌握该法的后结合文献对多种类型的不等式运用该法进行解答，完成本论文的研究。

进度安排：2015.10.20：与指导老师讨论所写论文的研究方向，并确定论文题目。

2015.11.10:初步搜集论文的基本材料，进行研究和探讨。

2016.3月上旬:对收集的材料进行仔细阅读，在导师的指导下，提交开题报告。

4. 参考文献

[1] 荆庆林.基于求多元函数极值应注意问题的研究[j].吉林工程技术师范学院学报，2013，29(4).

[2] 朱来义.微积分(2版) [m].北京：高等教育出版社，2004.3.

[3] 华东师范大学数学系.数学分析下册(3版) [m].北京：高等教育出版社，2001.

[4] 罗汉，曹定华.多元微积分与代数[m].北京：科学出版社，1999.3.