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2.4建立支撑平台的流体力学模型

计算机仿真程序包括了流体力学的计算，通过结合一系列的入射波运动与水动力荷载来实现。水动力荷载由浮式平台的湿面的动水压力造成，其中包括水流惯性（附加质量）、线性阻力（水流辐射）、浮力（恢复力）、阻碍入射水流（水流绕射）、海流和其他非线性作用力。

我会在2.4.1节中讨论完全线性水动力方程，其中应用了2.2节中提出的假设。完全线性水动力方程是指恰好符合线性化的边界条件，而不受平台的大小尺寸、形状或者运动形态（除了需要线性假设的）影响。在2.4.2节中，我比较了几个类似的水动力方程，它们常被用于近海工业，但是由于包含一些条件限制，不能直接将这些方程应用于近海浮式风力发电机的分析计算。

在2.4.1和2.4.2节中，我会将所有的方程放在一起去开发我的HydroDyn水上支撑平台，为后面近海浮式风力发电机的开发奠定基础。我在2.4.3中总结了我如何在HydroDyn中结合这些公式。

2.4.1时域下的完全线性水动力模型

在线性化的条件下，水动力问题可以被分成3个更简单的问题：水流辐射、水流绕射、流体静力问题。辐射问题：平台受迫运动时，在多种运动模态下振动，且没有其他重力波入射，平台振动而产生的辐射波向外传播（如生成的推进波），附加质量与辐射波的衰减会产生辐射荷载。辐射问题就是要过计算得到作用在支撑平台上的辐射荷载。绕射问题：当浮体在它的平均位置时（且无运动），入射的重力波受到了浮体的阻碍作用。波浪阻碍与未扰动的压力场（Froude-Kriloff）产生了绕射荷载。绕射问题就是要通过计算得到作用在支撑平台的绕射荷载。流体静力问题是在整个浮式平台的运动中最基础的但是也是最关键的。

在2.3节中，我讨论了所有的作用在近海浮式风力发电机上的荷载（除了来自于风机本身的）如何组成方程（2-7）。在完全线性水动力问题中，方程（2-7）的 与方程（2-8）中的一致。我将会在接下来的几个小节中分开讨论这个方程中的每一项。

2.4.1.1绕射问题

公式（2-8）的右边的第一项，表示入射波作用在支撑平台上的总荷载，它与水面高程有关。As background，Airy波理论描述了规则波的运动，规则波的高程会随着时间以特定的振幅和频率周期或者波长按正弦波的形式周期变化。（Airy波理论也描述了自由运动的水质点的运动速度与加速度会随着水深的增加而减小——见2.4.2.2节）各种随机海况的不规则波或者随机波被简化为多种波浪的叠加，由各种的合适波浪谱确定。与由文献[21]给出：

方程（2-9）与（2-10）属于逆傅里叶变换，j是单位虚数。代表想要得到的两侧的单位时间内水面高程的功率谱密度（PSD），或者由两侧入射波的频率决定的波浪谱。代表白高斯噪声时间序列的傅里叶转化，转化后的白噪声的均值为零且方差为一（即服从标准正态分布）。这个转变的实现保证每个独立波成分有随机的相位以及瞬时波面通常在零附近服从正态分布，相当于。同样的方法用于处理波浪的高程与水面的入射水流的作用力。是一个复数数组表示一组在支撑平台上的单位波幅的激励力，虚数部分允许激励力不在波高相位之中。这个力的大小取决于支撑平台的几何形状与入射波的频率与方向。我将会在2.4.2.1中更深入的探讨。入射波的方向为，假设与X轴同向为0，向Z轴方向旋转为正方向。我在HydroDyn中加入了这个角度的参数设置，这可以让我模拟水流方向与风向不在同一直线上的情况。

在我的HydroDyn模型中，对白高斯噪声的处理应用了Box-Muller方法[83]，Box-Muller方法不仅考虑了均匀分布的随机相位，还考虑了服从正态分布的振幅。正态分布的振幅保证生成的波高服从高斯分布，但是造成了实际的方差不同。这是我在之前章节中提到波高方差加了通常为一的原因。（要确保每一种实现的方差不变，就必须只考虑各个波分量之间的随机相位变化，但是大量波分量组合的瞬时波高仅可能为高斯分布。）

Box-Muller方法将两个独立的均匀分布的随机变量变为两个服从正态分布的随机变量，并以将实部与虚部保存下来（见参考文献83）。

其中，、是两个独立的服从正态分布的0~1的随机变量，由每个入射波频率的正值确定。当=0时，为零，这样才能保证白噪声的生成的波高的平均值为零。使用随机变量生成伪随机数需要指定随机种子，我已经存了这些随机种子在HydroDyn中。

入射波激励力方程（2-10）与入射波波方程（2-9）比较相似，唯一的区别就是波浪力方程多了一个波浪力复数归一化函数，这一项来源于波浪的绕射问题的线性化。波浪绕射的叠加意味着：（1）波浪激励力的大小与单个波的振幅成正比，（2）叠加的波浪造成的波浪激励力等于每个独立的波浪造成的波浪力的总和。当相邻两个波浪分量的频率只差趋于0时，这时候就利用积分来代替求和，如方程（2-10）所示。也可以将方程（2-10）应用双边变换，写成（2-12）的形式，可能更容易看到它的性质，方程如下：

在这个方程中，是一个虚拟变量，与时间t的单位相同。由时间与方向决定的作用在支撑平台上波浪激励力波幅归一化系数，可以由下式得出：

在方程（2-10）中的频率决定的波浪力的全部积分已经被方程（2-12）取代。不管使用哪个公式，浮式支撑平台应采用最小的自由面去减小波浪激励力。

在我的HydroDyn中，我使用了方程（2-10）而不是方程（2-12），因为前者的计算量更小。并且通过使用高效的快速傅里叶变化（FFT）实现了逆傅里叶变化。

方程（2-10）与方程（2-12）给出的波浪激励力独立于支撑平台的运动形态，这也解释了波浪绕射问题能从波浪辐射问题中分离出来的原因，也揭示了为什么线性化假设在平台运动较大时候不能使用。

由此可见，波高方程（2-9）只有在平台在平均位置时才能使用。否则，应该用方程（2-14）：

X,Y是以静水面上的一点为原点的惯性参考系下的坐标，是波数，为入射波方向角。当水深为h的时候，波数、频率、重力加速度由如下关系：

在HydroDyn中，这个隐函数的求解使用了求解流线型模型的一个数值逼近方法，假设一个高阶初值，结合牛顿方法求解仅使用一次迭代，求解精度可以达到7位有效数字。这个方法由MIT的J. N. Newman教授提出。我使用方程（2-14）来生成平台附近的波面方程。

由于逆傅里叶变化要求正负频率的区分，在之前方程中的频率依赖项由几个特征，来保证作用在支撑平台上的总波激励力是与时间有关的实函数。这就要求被积函数的实部是关于频率的偶函数，虚部是关于频率的奇函数。因此，白噪声的处理过程也有相似的特性使 ，“*”用于表示共轭复数。归一化波浪激励力也有相似的性质：。同样的，我假设来保证。在逆傅里叶变化中的双向波浪谱与海洋工程中常用的单向波浪谱有如下关系式：

方程（2-16）保证双向或者单向的波浪波高的方差或者波能密度谱下的面积相同：

在我的HydroDyn中，我设置了3个选项去指定波浪谱。我加入了IEC61400-3设计规范中的Pierson-Moskowitz谱与JONSWAP谱，我已经为用户设置了一个特定地点的波浪谱的选项。Pierson-Moskowitz通常用于描述波浪充分发育的海域，JONSWAP谱通常用于描述波浪发育受限的海域。从IEC61400-3设计规范中，单向的JONSWAP谱可以被定义为：

表示有效波高，为波浪谱出现波峰的周期，为给定的不规则海况的波峰形态参数，为缩放因子。IEC61400-3设计规范推荐缩放因子与波峰形态参数由有效波高与波峰的周期给定，公式如下：

与

当波峰形状参数等于1时，单向JOWNSWAP谱方程（2-17）退化成Pierson-Moskowitz谱方程，如方程（2-20）所示。这个简化只在最极端的海况中发生。图2-2对比了有效波高为11.8m，波峰周期为15.5s的极端海域下Pierson-Moskowitz谱和JONSWAP谱，其中JONSWAP谱中的对应的波峰形状参数大约为1.75。对于具有相同总能量的波浪谱，JONSWAP谱比Pierson-Moskowitz谱显得更高，更窄。

我已经在HydroDyn中应用了单向JONSWAP谱方程（2-17），但是做了一项修改：避免高频率（短波长）时候的无形波力，去掉超过截止频率的波浪谱。我使用了Massel提出的方法：截止频率与峰值频谱频率成正比，我在计算中取比例系数为0.3。

图2-2 对比Pierson-Moskowitz谱和JONSWAP谱

2.4.1.2水静力学问题

方程（2-8）中右边的第二项和第三项表示来自于水静力荷载，我也已经将他们输入进了HydroDyn中。在这个公式中表示水的密度，表示重力加速度，表示平台在水中的排水体积，表示Kronecker-Delta函数（例如单位矩阵），表示影响截断水面面积与浮心的线性水静力恢复矩阵的（i，j）项。静水荷载是独立于绕射问题的入射波与辐射问题的推进波的。

这一项的第一项，表示服从阿基米德原理的浮力，即方向竖直向上，且大小等于支撑平台在水中排开水的重量。因为假设了平台的浮心只在未扰动的平台的中心线上（Z轴上），所以这一项只在竖直方向上的位移上不为零。如果不是这样的话，浮力与浮心的位置向量的向量积会产生作用在平台参考点（平台的各自由度为零）的静水力矩。在海工建筑领域和海上石油平台的分析上，由于浮力与浮体露出水面的重量与浮体水面下用于系泊的质量相抵消，力矩方程中的这一项常常被忽略。由于风机可以移动，浮式风力发电机的质心的位置始终在变化，因此，将重力分量单独分离出来就很关键，其中包括：水上风机与支撑平台的重量、水下系泊系统的重量、浮力。水上风机与支撑平台的重量被包含在了方程（2-6）中的项中。

静水荷载的第二项表示静水力与作用在截断水面面积与浮心的力矩的变化量。当平台在水中时，由于平台的排水体积会随着平台的位移（）改变而改变，截断水面面积影响将会影响静水荷载大小。相同的，浮心的位置固定在竖直向上方向将会影响静水荷载，由于浮心的位置向量会随着平台的位置变化而变化，和浮力与浮心的位置向量的叉乘产生的一个以参考点为矩心的静水力矩。（由于Z轴竖直向上且沿着静止的风机的中心线，通常小于零。）当支撑平台固定的xz平面是平台水下部分的一个对称平面时，中的非零项只有(3,3),(4,4),(5,5),(3,5),和(5,3)项：

如果固定平台的yz平面也是一个支撑平台水下部分的对称平面的话，那么的(3,5),和(5,3)项也是零。方程（2-21）应该很好的解释了为什么水静力恢复力只有三个坐标轴方向的位移。其他运动方式的恢复必须通过系泊系统来实现。在经典的海洋水静力学中，结构体重力常常与水静力荷载一起定义在静水恢复力矩阵中，比如定义稳心高度的时候。与之前章节同样的道理，出现在水静力荷载方程中，虽然从静水恢复力与结构体重力中分离出来很重要。所以，再次重申，就是仅来自于截断水面面积和浮心的水静力荷载系数矩阵。

2.4.1.3辐射问题

波浪辐射荷载来自于附加质量的水动力作用与辐射波的衰减。由于辐射问题已经从绕射问题中分离出来，辐射荷载与入射波没有关系。

在方程（2-7）中，脉冲水动力附加质量分量表示时域下力与支撑平台的加速度成正比的关系。尤其，（i，j）分量表示作用在i方向的水动力荷载，通过对作用在平台湿面上的推进波压力场分量的积分得到，其中推进波的压力场与与j方向的支撑平台加速度的大小成正比。与浮体的质量（惯性）矩阵相似，这个脉动水动力附加质量矩阵是个对称矩阵。与惯性质量矩阵不同的是，与惯性质量矩阵不同，脉冲水动力附加质量矩阵取决于支撑平台的形状，可能包含

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