摘 要

随机信号的功率谱密度函数决定了分析信号在频域的能量分布，在雷达、通信、地质勘探等诸多领域有着广泛的应用。功率谱估计是利用有限样本数据估计随机信号的功率谱密度函数。因此，谱估计已成为信号分析的重要手段。对于不同的随机过程，可以选取不同的功率谱密度函数的估计方法。例如：对于平稳随机过程，一般选择傅里叶变换估计其平稳谱函数；对于非平稳随机过程，可以采用短时傅里叶变换、小波变换等方法来估计其非平稳谱函数。随着科学技术的发展，功率谱估计的精度也在不断提高。

自相关函数通常是随机信号统计特性的一个重要特征。并且功率谱密度与其自相关函数往往有着密切的联系，所以我们可以用功率谱密度来表征其统计平均谱特性。另外，功率谱估计在测量噪声谱、优化线性滤波等应用中起着重要的作用，因此如何进行功率谱估计就显得尤为重要。

而在日常我们对相关的工程结构的特定参数进行监测时，常常由于一些原因如传感器故障，数据损坏和有限的带宽/存储容量，使得（无线）传感器传输回来的数据不可避免的会产生一定的丢失或污染的情况，从而造成了得到的数据的断续性。有时会十分影响后续的数据分析。

为了解决类似上述的困难，结合上述理论思想，首先选择合适的基在时域中扩展信号，如傅立叶基、谐波小波基和Chirplet基等。其次，选择合适的方法进行重建，使用所选基获得信号的最稀疏的表达形式。本文对恢复功率谱的几种方法：1范数，2范数，匹配追踪（MP）法，正交匹配追踪（OMP）法分别进行了比较与讨论

关键词：随机功率谱；重建；数据丢失；随机过程

Abstract

The power spectral density function of the random signal determines the energy distribution of the analyzed signal in the frequency domain, so it is widely used in many fields such as radar, communication, and geological exploration. Power spectrum estimation is to estimate the power spectrum density function of a random signal with limited sample data. Therefore, spectral estimation has become an important method of signal analysis. According to different random processes, different estimation methods of power spectral density function can be selected. For example, for stationary random processes, the Fourier transform is generally used to estimate its stationary spectral function; while for non-stationary random processes, short-time Fourier transform, wavelet transform and other methods can be selected to estimate the non-stationary spectral function. With the development of science and technology, the accuracy of power spectrum estimation is also constantly improving.

The autocorrelation function is usually one of important features of the statistical characteristics of random signals. And the power spectral density is often closely related to its autocorrelation function, so we can use the power spectral density to characterize its statistical average spectral characteristics. In addition, power spectrum estimation plays an important role in measuring noise spectrum, optimizing linear filtering and other applications, thus how to perform power spectrum estimation is particularly important.

In the daily monitoring of specific parameters of the relevant engineering structure, due to some reasons such as sensor failure, data damage and limited bandwidth / storage capacity, the data transmitted by (wireless) sensors will inevitably contain certain amount of data loss or contamination, which leads to the discontinuity of the obtained data. Sometimes it will greatly affect subsequent data analysis.

In order to solve the similar difficulties above, combining the above theoretical ideas, first select an appropriate base to extend the signal in the time domain, such as Fourier base, harmonic wavelet base and Chirplet base. Further, choose an appropriate method for reconstruction, and use the selected basis to obtain the sparsest expression of the signal. This paper compares and discusses several methods for restoring the power spectrum: norm, norm, matching pursuit (MP) method, and orthogonal matching pursuit (OMP) method.

Key Words: stochastic power spectrum；reconstruction；data loss；stochastic process

目录

第1章 绪论 1

1.1研究背景与意义 1

1.2 国内外相关研究现状 1

1.3本文研究内容与结构 3

第2章 随机过程理论简介 5

2.1随机过程与功率谱密度 5

2.1.1 随机过程与功率谱密度的定义 5

2.1.2随机过程的特性 6

2.2平稳随机过程 7

2.3 非平稳随机过程 8

第3章 随机功率谱重建方法 11

3.1 问题的提出 11

3.2解决问题采纳的方法 12

3.2.1 1范数法 12

3.2.2 2范数法 13

3.2.3 匹配追踪（MP）法 13

3.2.4 正交匹配追踪（OMP）法 14

第4章 数值模拟 15

4.1 平稳随机过程的功率谱重建 15

4.1.1 初始功率谱 15

4.1.2随机样本的产生 15

4.1.3丢失处理 17

4.1.4对观测矩阵的丢失处理 19

4.1.5范数法 21

4.1.6匹配追踪法（MP） 22

4.1.7正交匹配追踪算法（OMP） 23

4.1.8仿真结果小结 25

4.2 非平稳随机过程的功率谱重建 28

4.2.1 初始功率谱 28

4.2.2 随机样本的生成 29

4.2.3 CHIRPLET基 31

4.2.4范数法 32

4.2.5 匹配追踪（MP）法 34

4.2.6 正交匹配追踪（OMP）法 34

4.2.7 小结 35

第5章 总结 38

参考文献 40

致谢 42

第1章 绪论

1.1研究背景与意义

数据丢失时进行该数据的功率谱分析将是在许多科学技术领域进行信号处理的十分有效的工具技术。实际的观察测量通常是不完整的，因为各种传感器的故障或者异常经常导致了数据的丢失。而几乎所有的不带有虚假或缺失的观察的测量数据可能是耗费十分昂贵或者是根本不可能的。有时候，唯一的可用或者有效的信息可能就恰恰是缺少得数据记录。

同时，与环境过程相对应的数据的采集常常用来定义和校准概率工程的模型。在利用这些数据进行运算的时候，随机功率谱估计可以成为工程系统分析中一个十分珍贵的工具和十分重要的一个组成部分。然而，在缺少数据的情况下，普通的分析技术存在一定的缺陷。在这种情况下，丢失的测量数据是指随机过程在时域中，由于某些原因，它的一些初始的内容被不规则地采样或者丢失了。并且同时，在大多数情况下，丢失数据是难以避免的。其中包括传感器的故障、数据传输过程的丢失或损坏，以及共享设备之间分配时间的限制与不均。因此需要选择更好的分析技术从而更好地分析和处理当前可用的测量数据。

1.2 国内外相关研究现状

一般而言，在无数据损失的情况下，蒙特卡罗模拟可以^[18]被应用于工程系统分析的功率谱估计^{[3，5,11-17]}。蒙特卡罗模拟的缺点是在理论上的时间成本较高，并且其要求在功率谱估计时，数据没有缺失，通常在进行随机分析时，可以使用余弦级数公式以比较高的计算效率生成样本函数，当余弦序列中的项数N 较大时，这些样本函数就可以准确地反映随机过程的相关概率特征，同时，随着样本量的增加，总体平均功率谱密度或自相关函数就接近相应的目标功率谱函数^[21]。Welch基于短周期图时间平均的方法提出了快速傅里叶变换在功率谱估计中的应用^[26]。而在缺少数据的情况下，标准的频谱分析技术（如基于傅里叶变换的技术）存在一定的局限性^[8]。