论文总字数：20393字

摘 要

属于BCH码中的一种的RS码不但能够纠正随机错误而且更能纠正突发错误，极大地满足了人们对于编解码日益突出的要求。随着对RS码研究的深入，RS码已经广泛应用于现代数字通信、数据存储系统、深空通信方面。同时又由于FPGA的电路设计周期短，基于FPGA的RS编解码器设计能够更快地设计更准确地纠错，所以它得到越来越多的青睐。

本次毕业设计主要是了解RS编解码器的相关原理，在此基础上能够利用Verilog HDL语言实现RS(255，223)编解码器的功能，并在QuartusII软件中进行仿真。本论文先简略地介绍了关于RS码的相关理论，以此为基础，分析了RS编码器的FPGA实现方案。论文重点部分是编码器和解码器的介绍。RS编码器的实现有赖于常数乘法器的编写，而乘法器的编写是建立在对GF域的了解基础上的。本论文介绍RS解码器是分四个模块进行的。第一个模块是计算伴随式，主要由Horner算法求解。第二个是关键方程的求解模块，这部分介绍了含有限域求逆运算的BM算法。第三个和第四个模块分别是钱搜索和纠错。这四个部分分工合作最终达到解码的总体功能。

本次设计能够实现在QuartusII软件中的仿真，并最终能够实现RS（255,223）编解码器的功能。本论文是在基于FPGA的RS（255,223）编解码器的研究成果，具有通用性、可移植性，有一定的研究及应用价值。

关键词：FPGA RS(255，223) Verilog HDL

The Design of RS Codec Based on FPGA

Abstract

FPGA is getting more and more attention.RS code which is a type of BCH can correct random error as well as burst error. It satisfies people’s requirements at it’s best.RS code has the characteristic of cycle code and linear code at the same time. With the deeper research and the development of RS code, it has been used in the area of modern digital communication、the system of data storage、deep space communication, the requirement of the efficiency of RS encoder and decoder is getting high.At the same time, because FPGA’s period of circuit design is short ,The Design of RS Codec Based on FPGA can correct error faster and design more accurately,so it’s getting more attention

The design is aimed at knowing about the correlation theory of RS codec,based on which ,function of RS(255,223)codec which is written by Verilog HDL will be reach.The article the way of achievement of FPGA.Encoder and decoder are the main introduction.The RS encoder is related to constant multipliers,and constant multipliers are based on GF.The article introduce the decoder for four parts.The first is calculating syndrome using arithmetic of Horner.The second is solving the key equation including arithmetic of BM .The third and fourth are chien-search and collecting.Each part has own work and they wok together to get the general function.

The design can achieve the function of simulating in QuartusII software and getting the function of RS(255,223). The research fruit of RS encoder and decoder design based on FPGA is of some theoretic and economical value and can be applied to many purposes.

Key Words: FPGA; RS（255,223）; Verilog HDL

目 录

摘 要 I

ABSTRACT II

目 录 III

第一章 绪论 1

1.1 引言 1

1.2 课题来源及研究内容 1

1.3 国内外的研究现状 2

1.3.1 RS码的发展历史 2

1.3.2 RS码的应用 2

1.4 本文所做的工作 3

第二章 RS码的理论基础 4

2.1 信道编码 4

2.2 伽罗华域 5

2.2.1 伽罗华域的加法 6

2.2.2 伽罗华域的乘法 6

2.3 循环码 6

2.4 BCH码 7

2.5 RS码 8

第三章 基于各种软硬件的RS编解码器的方案 9

3.1 基于各种软硬件的RS编解码器的方案 9

3.2 关于Verilog HDL编程语言的部分简介 10

第四章 RS编码器的设计与实现 12

4.1 RS编码器的理论基础 12

4.2 RS(255，223)编码器的实现 13

4.2.1 RS（255,223）码的基本内容 14

4.2.2 RS（255,223）编码器在QuartusII软件上的仿真 15

第五章 RS解码器 20

5.1 RS解码器的理论基础 20

5.2 RS（255,223）解码器的实现 21

5.2.1 RS（255,223）解码器 21

5.2.2 RS（255,223）译码器在QuartusII上的仿真 27

第六章 小结 29

6.1 总结评价 29

6.2 展望 29

致 谢 32

第一章 绪论

1.1 引言

在通信系统中，存在着许多干扰因素，或是由于信道固有的噪声以及衰落或是由于其他信号的干扰，信号在传输的过程中或多或少地会受到干扰而引起失真^[16]，而当失真达到一定程度的时候必然引起信号的传输失败。但是随着编译码器理论知识和设备技术的日趋成熟，越来越多的人或是工厂选择用编译码器来减少失真和减小误码率，这使得编解码技术在实际生活中得到广泛的应用。而FPGA在发展的过程中越来越显示它的卓越的优越性，它可以解决如缩小电子系统、降低功耗、提高可靠性等这些问题，这些诱人的优势促使FPGA越来越炙手可热。在此基础上，基于FPGA的RS编解码器结合了FPGA和RS的两者优点，对现代信息传输的发展做出了巨大的贡献。

1.2 课题来源及研究内容

本课题来源于在通信系统中，当信号在传输的过程中出现了随机错误和突发错误时，需要对这些错误进行纠正才能使接收端的信号达到理想的状态的这个迫切需求。因此在信号的发送端加上编码器，使信号通过编码器能够编码，再经过信道传输，最后在接收端加上译码器，通过译码器还原出本来需要传输的信号。这样在信号传输的过程中加入编解码器，明显降低了误码率，减少了失真，使得传输效率得到了明显提高。技术在飞速发展，各种码字也相继出现并被运用到生活当中，但是RS码却凭借其强项在各种码字中脱颖而出，越来越凸显卓越的优势。并且在数字通信系统中，信号能够快速准确地传输有赖于RS码的具有很强的纠错能力的这个特性。RS（255,223）码的编码器和解码器是本次毕业设计的重点和难点，本论文也是围绕这个主题展开的。在设计时不但要学会分析编解码器的数学公式和各种算法，而且要求能够用Verilog HDL语言编写程序，并实现在QuartusII软件上的时序波形和功能波形的仿真。

1.3 国内外的研究现状

1.3.1 RS码的发展历史

Reed-Solomon码亦称RS码，它的最初设想来源于麻省理工学院林肯实验室的I.S.Reed和G.Solomon1960年发表的论文《Polynomial Codes over Certain Finite Field》。虽然设想被大胆地提出了，但是有效的解码算法一直没有被发现。而且也由于译码工程的复杂和冗长，RS码并没有立即在实际生活中被大范围地采用。随后不久，Corensten和Zierler把算法一下子从二元码的领域推广到了多元码域，因为他们发现RS码是一种具有最大的最小距离的汉明码。在1966年的时候E.R.Berlekamp想出了一种有效的方法，即求解矩阵逆运算是可以通过迭代的方法来实现的。向下发展在1969年时，用迭代算法求解关键方程的关键就是找出一种最短线性移位寄存器这一突破性理论被J.Massey发现，显然这就是为我们所熟知的BM算法。经过几十年的研究，人们在这些研究的基础上对于RS码的编解码算法进行了许多改进，使得其效率有了很大的提高，被越来越多地应用于实际中。

随着文明的进步，微电子技术及其相关技术的发展和技术的无国界交流，对于RS码的研究不但是国外在推进，同时我国也在竭力研究，并把研究成果应用在了实际当中。

1.3.2 RS码的应用

RS码随着技术的发展已经很广泛地被应用到实际生活中，如下所示列举出RS码的部分应用。

表 1-1 RS码的部分应用

1.4 本文所做的工作

总共六章的内容会在本论文中被讲述。

1. 是绪论。
2. 主要是关于RS码理论的基础知识。
3. 讲解了关于RS编解码的其他实现方法，不管是硬件还是软件的实现方案，在此基础上比较FPGA的方案相较于其他实现方案的优点。另外还介绍了关于Verilog HDL语言编程基础和其他部分基本内容。

第四章是关于RS编码器的。这部分主要涉及到RS编码器的理论知识和编码器的乘法器部分，以及实现RS（255,223）的算法和在QuartusII上的仿真结果。

第五章是关于RS译码器的理论知识和译码器各模块的实现结构，以及RS（255,223）译码器在QuartusII软件上的仿真。

第六章是本文的结论章。总结本次设计的工作和本次设计存在的缺点，还有可能的改进的方案。

第二章 RS码的理论基础

2.1 信道编码

1.现实生活中我们会遇到各种各样的信号或者是消息。总的来说，信号是可以被分为数字的和模拟的，相应地，传输信号的系统也是可以以数字和模拟来划分的。和模拟通信系统相比，数字通信系统显然有着无法超越的优越性，它更能适应人们对于通信系统越来越高的要求。数字通信系统有如下所示的优点：

（1）抗干扰能力强，中继时可再生，可消除噪声积累^[14]。

（2）差错可控制，可改善信道质量。

（3）便于加密和使用DSP技术处理。

（4）可综合传递各种消息，传送模拟消息时，只要在发送端增加模数转换器，在接收端增加数模转换器即可。

2.数字通信系统模型如下所示：

图 2-1 数字通信系统模型

3.信息论编码的创始人Shannon率先提出信息论的概念，随着这个概念的不断推广信息理论在科学技术上得到了很大的突破，也得到了大众的关注。随后Shannon也陆续提出了三大定理，这也奠定了三大定理在编解码领域的不可动摇的地位。三大定理的提出为信息理论、更为编解码技术的发展提供了可靠的依据和可行的实现方案，同时也给出了信道的最大容量。

2.2 伽罗华域

1.有限个元素所构成的域为有限域或者是伽罗华域。在伽罗华域中二种代数运算系统被明确地定义出来，即有限域的加法和有限域的乘法。同时GF（）域的任意多项式都是和GF（2）域中多项式唯一对应的，它们可以利用其初等多项式即本原多项式和GF（2）域中的多项式产生一对一的联系。

GF（）域的（被称之为本原）可生成全部GF（）域的元素。通常，个元素可以被准确地处理在GF（）域的算术运算中^[2]，且m表示的是数据信息字符的位宽^[2]。

2.如下所示为GF（）域部分元素表

表 2-2 GF（）域部分元素表

2.2.1 伽罗华域的加法

加法运算在伽罗华域中是做模2的加法，即等同于异或逻辑运算。以GF（2）域为例，则GF（2）域的集合是{0,1}，则

表 2-3 GF（2）域加法运算真值表

2.2.2 伽罗华域的乘法

乘法运算在伽罗华域中等同于与逻辑运算。以GF（2）域为例,则

图 2-4 GF（2）域乘法运算真值表

以如下等式为例，即：

奇数个乘积中间项最终保留下来作为乘积多项式的项。

2.3 循环码

有限域是循环码的代数结构的基础，并且循环码是一类在理论知识方面已经很成熟的码字。

1.定义：

一个（n,k）线性码C，若对任意c=（,,...,)∈C，如果循环左移（或右移）码矢中的各码字符号一位，那么恒有=（,,...,)∈C，就称C为（n,k）循环码。

2.循环码的码多项式

将一个码失c=（,,...,)中的各码元（i=0,1，...，n-1）看成一个多项式的系数，则码的多项式表示为：

（2-1）

3.用代数表示方法来表示码的循环移位，即

（2-2）

4.生成多项式g(x)

（1）生成多项式g（x）必整除。

（2）如下所示：

（2-3）

上述的表达式描述的是循环码的生成多项式。

5.校验多项式h(x)

1. 已知g（x）必整除，则记为

（2-4）

那么其中h(x)被称为校验多项式。

2.4 BCH码

BCH码是一类被广泛使用的码字，而它属于循环码。使用BCH码则多个随机错误可以被准确地纠正。到目前为止，线性分组码中最有效的一种码即是BCH码，这就意味着它具有的很强的纠错的特性被各行各业所接受。

1.定义

设是GF（）上的一个本原元，t为整数，则以含有等共2t个根，其系数在GF（2）上的最低次多项式g(x)为生成多项式的循环码^[14]，称为二元本原BCH码。

2.二元本原BCH码的参数

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