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1. 研究目的与意义及国内外研究现状

随着现代科学技术的迅猛发展，以及各研究领域间的交叉学习，涌现出了大量的优化问题。可分优化问题在压缩感知、信号恢复、图像处理等方面有着广泛的应用，为很多问题提供了有力的数学模型。考虑到许多实际问题都是非凸的，这样一些经典的算法去求解这些非凸问题时就不再具有收敛性了。近些年，许多学者对此进行了分析。考虑到实际应用中许多模型都是具有可分结构的，且目标函数不一定具有凸性，那么就需要我们去对非凸可分优化问题的求解算法的收敛性进行分析。交替方向法在求解可分优化问题时具有极大的优势，其充分利用问题固有的可分格式，将规模较大的问题变成两个或多个易于求解的小问题来进行迭代求解。本文考虑将交替方向法用于求解一类特殊结构的非凸可分优化问题，并给出算法的收敛性和收敛率结果。

国内外研究现状

可分优化问题在压缩感知、图像处理、机器学习、信号恢复[1-3]等方面有着广泛的应用，因此，设计一个有效简捷的算法来求解这些可分优化问题成了当前的热门研究。但是很多问题都是非凸甚至是不连续的，所以一些算法就不能用来求解这些问题。许多学者对这类问题进行一个凸松弛，寻求一个近似问题代替原问题。只有在比较严苛的前提下，非凸可分优化问题的凸松弛才能与原问题等价，所以有许多学者就考虑直接求解原问题。此时，原有的凸假设下的算法分析框架就不在适用了。当前分裂算法受到越来越多的重视，交替方向乘子法作为一个非常高效的分裂算法，许多学者都已进行研究[4,5]。目前，针对凸可分优化问题，交替方向乘子法的收敛性结果已经有很多，但收敛率结果仅局限于一些特殊情况；针对非凸可分优化问题，交替方向法的收敛性分析还不太多，一些学者在相关假设下给出了该算法的收敛性结果，但相关收敛率的结果还不太多，或者是没有直接给出。基于[6,7,8]的工作，本文将对一类特殊的非凸可分优化问题交替方向法的收敛性结果进行相关的研究。

2. 研究的基本内容

1、针对可分优化问题，给出一些实际应用问题；

2、针对凸可分优化问题，简述已有的一些求解算法，及相关收敛性、收敛率结果；

3、针对非凸可分优化问题，简述已有的一些算法，及相关收敛性、收敛率结果；

3. 实施方案、进度安排及预期效果

实施方案：通过文献检索，了解可分优化问题的应用背景；了解相应的求解算法及算法的收敛条件和收敛率结果；理解相关的收敛率分析工具。

进度安排：

4. 参考文献

[1] 陶卿, 高乾坤, 姜纪远, 储德军. 稀疏学习优化问题的求解综述[j]. 软件学报, 11 (2013), pp. 2498-2507.

[2] 周雪刚. 非凸优化问题的全局优化算法[d]. 中南大学, (2010).

[3] 刘晓倩. 非凸优化的近似束方法及收敛理论[d]. (2016).