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非牛顿流体力学杂志169–170（2012）91–103

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非牛顿力学流体机械

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扩展冲击和射流屈曲问题的数值模拟Pom-Pom模型

作者：C.M. Oishi ^a, F.P. Martins ^a, M.F.Tomeacute; ^b, M.A. Alves ^c,*

1. 巴西保利斯塔德大学数学统计与计算系主席
2. 巴西圣卡洛斯圣保罗大学应用与统计数学系
3. CEFT，葡萄牙波尔图大学工程学院化学工程系

文章信息 关键词：

文章历史： 有限差分法

2011年9月20日收到 自由表面流动

2011年11月30日收到修订后的表格 隐式技巧

2011年12月1日接受 粘弹性流体

2011年12月13日在线提供 降低影响力

喷射屈曲

摘要

这项工作提出了两个流体流动问题的数值模拟，涉及移动自由表面：影响跌落和流体射流屈曲。这些模拟中使用的粘弹性模型是XPP模型。为了验证代码，提出了牛顿和Oldroyd-B流体的跌落冲击问题的数值预测，并与其他方法进行了比较。特别地，针对广泛的相关参数执行针对影响刚性板的XPP下降的数值模拟的基。最后，为了提供XPP流体自由表面流动的额外应用，模拟和讨论了粘性射流屈曲问题。

2011 Elsevier B.V.保留所有权利。

1.简介

由于其固有种种难题，模拟粘弹性自由表面流动问题是计算流变学中最有趣和最具挑战性的问题之一。例如，自由表面边界条件对方法精度的影响，以及控制流体流变行为的双曲线本构方程的数值近似问题。因此，要想处理复杂几何形状中的复杂粘弹性自由表面流动是非常困难的。这类流动中的一个重要问题是模拟非牛顿流体的下落冲击。在这个流动问题中，二维（2D）圆形液滴在重力作用下落下直到它撞击固体表面，由于流体的剪切和拉伸性质，流体快速变形。通过无网格方案已经广泛地研究了液滴对固体表面的影响现象，例如使用光滑粒子流体动力学（SPH）方法。在这方面，Fang等^[11]研究了Olddyd-B流体下落的模拟，而Rafiee等^[28]扩展了不可压缩的SPH方法，使用非牛顿模型解决这些现象。最近，Jiang等^[17]使用SPH方法，并提出了一个方案，增加一个人工应力项，以消除流体拉伸区域的裂缝和粒子聚集的非物理特征。为了评估其方法的性能，作者模拟了粘弹性下落冲击并在倾斜的刚性表面上扩散。

只有少数基于网格的数值方法的论文，应用于模拟粘附在刚性表面上的一滴粘弹性流体的流动。Tomeacute;等提出了一项有关粘弹性流体该问题的数值模拟的相关工作。[37]使用有限差分法（FDM）。在标记网格法（MAC）方法的背景下，作者通过采用全自由表面应力条件的投影方法解决纳维叶-斯托克斯方程和Oldroyd-B流体的本构关系。Tomeacute;及其合作者获得的结果已被用于研究SPH方法获得的模拟的定性行为，例如[11,17,28]。Lunkad等报道了使用基于网格的方案对跌落影响的另一个数值研究。[20]，采用流体体积（VOF）法。

到目前为止所描述的所有工作都涉及模拟Oldroyd-B流体的下落。据作者所知，在FDM框架内，没有用MATLAB进行撞击跌落问题的数值研究extended Pom-Pom（XPP）模型的已发表作品。最初的Pom-Pom模型由McLeish和Larson ^[23]开发，基于支化聚合物的分子理论，后来由提出了XPP模型的Verbeeten等修改^[42]该eXtendedPom-Pom模型在稳定剪切流中具有非零的第二法向应力差系数，并且在高应变率下消除了取向方程的无界性质。该模型提供了聚合物熔体和浓缩聚合物溶液的流变学的良好拟合，并已用于若干数值工作中。尽管如此，在模型参数的某些范围内，在稳定剪切和单轴拉伸流动中已经报道了一些非物理行为[9,16]，特别是对于足够大的各向异性参数值以及Pom分子的大量分支臂。J等^[18]最近使用多模式XPP模型研究了液滴对固体表面的影响。在该工作中，IM证明了SPH方法（IMSPH，见[12]中该方法的细节）在粘弹性自由表面流动的模拟中进行了扩展和测试。然而，在MAC方法的背景下，使用有限差分和交错网格，支化聚合物的跌落影响的数值预测受到的关注相对较少，而对于作者的最新知识，这是第一个采用网格的工作 - 基于XPP模型模拟跌落冲击的数值方法。

在之前的工作^[25]中，开发了一种隐式有限差分方法来模拟XPP流体的自由表面流动。 研究的问题是二维通道中的自由表面流动和粘弹性流体的挤出物膨胀问题。在目前的工作中，我们研究了粘弹性液滴的影响，并研究了表征XPP模型的各种流变参数的影响。此外，所开发的数值代码用于模拟XPP流体的喷射屈曲现象。

1. 数学公式

不可压缩和等温流动受运动方程和质量守恒方程的控制以无量纲保守形式书写[25]

其中t是时间，u是速度矢量场，p是压力，g是重力场。在方程（1）中，tau;是超应力张量的非牛顿部分，由适当的本构方程定义。无量纲参数和^-1/2分别是雷诺数和弗劳德数，其中L和U是合适的长度和速度标度，是密度，是零剪切速率流体粘度。 是R²中的域，[0，T]是时间间隔。应力张量归一化为rsquo;，其中rsquo;是尺寸应力张量，类似于压力的归化。

对于牛顿流体，我们设定=1和=0。对于粘弹性流体的建模，将使用XPP和Oldroyd-B模型。在这种情况下，代表溶剂粘度比，，其中是溶剂粘度，并且我们在动量方程中使用。非牛顿超应力张量是从适当的本构关系中获得的。关于本工作中使用的粘弹性模型的方程和其他细节将在下一节中介绍。

为了求解方程组（1）和（2），需要调用适当的边界条件。在固体边界（刚性墙）上，用表示，应用无滑移条件，即

其中n是垂直于边界的单位向量，指向内部方向，m是与边界相切的单位矢量。

关于流入量，用表示，边界条件由以下给出

在流出时，，应用齐次第二类边界条件在的非牛顿应力张量的边界条件将在2.4节中给出。

• 1. 自由表面边界条件

在自由表面上，有必要对速度场和压力场施加边界条件，用表示。在没有表面张力的情况下，这些条件由下式给出[25]

在方程组（5）和（6）中，n=(n_x,n_y)表示单位矢量法线

在表面外部，m=（m_x,m_y）=(-n_y，n_x）是一个单位矢量与自由曲面相切。对于二维笛卡尔坐标， 方程组（5）和（6）分别写成

在时间依赖的自由表面流动中，除了纳维叶-斯托克斯方程的解的数值之外，追踪应用条件（5）和（6）的自由表面或表面的位置也是必要的，因此显着增加了方法的复杂性。基于众所周知的MAC方法[15]，已经开发了许多数值方案，目的是解决这种流动。这些数值方法的例子有：SMAC [3]，GENSMAC [34]，SIMAC [4]，Ushijima [41]，Kim和No [19]等方法。最近，已经开发出改进的变体：例如，Sousa等^[32]使用MAC方法进行具有自由表面（和界面）的3D多流体流动;费雷拉等^[13]提出了基于MAC技术的湍流自由表面流动的数值模拟; Mangiavacchi等^[21]实施了一种有效的技术，用于在表面张力相关时处理轴对称和平面流动;费雷拉等^[14]采用MAC方法计算低雷诺数和高雷诺数的受限和自由表面流。 McKee等提出了关于MAC方法的综述[22]。

2.2.计算网格，单元格分类和自由表面的离散化

本方法使用的网格是矩形的交错网格，其中在单元面处计算速度，并且在单元中心计算所有其他量。这种安排的详细描述可以在[22,34]中找到。MAC方法背后的基本概念是根据网格单元相对于流体的位置对网格单元进行分类，如下所示：

空单元格[E]：不含流体的单元格

完整单元格[F]：没有任何面与空单元格接触的单元格

表面单元格[S]：含有流体并且一面或者多面与空单元格接触的单元格

边界单元格[B]：属于刚性边界的单元格

流入单元格[I]：流体入口的单元

流出单元格[O]：流体出口的单元

当流体在域中移动时，需要在每个时间步更新这种单元格分类。它允许流体流动可视化，更重要的是，可以精确地施加边界条件的自由表面位置的跟踪。随着时间的推移重新标记网格单元的算法仅基于单元信息，并且自由表面的离散化基于该表面的一些特定配置的近似。 在先前的工作中详细描述了单元格标记程序，颗粒插入和缺失以及自由表面离散化算法的完整说明（例如[21,22,34,36]）。

• 1. 粘弹性模型

在这项工作中，我们感兴趣的是由以下通用组成部分控制的流体

方程式去模拟粘弹性流动，以无量纲形式写成[25]：

其中D是由给出的变形张量的速率

由方程组（10） - （12）所定义的公式是非常通用的，因为XPP和Oldroyd-B模型都可以通过选择适当的参数从中得出，如下所述。Weissenberg数定义为We=lambda;₁U/L，其中lambda;₁是流体的弛豫时间。

XPP model:在这种情况下=且^-1其中溶剂粘度比定义为如图1所示，流体的总粘度等于溶剂粘度和聚合物粘度之和， 另外，和，其中是线性松弛模量，是控制各向异性阻力的参数，是Pom-Pom分子的骨架末端的臂数。关于XPP模型的流变行为的更多细节可以在[16,23,42]中找到。

Oldroyd-B模型：一个令方程（10）中和并且无视方程式（12）的模型。

从方程组（10） - （12）可以看出，在实际使用这些模型之前我们必须选择许多参数。 有关这些参数选择及其重要性的详细说明见[1,2,16,27,38,39,43]。 对于在该工作的数值模拟中使用的许多流体，材料性质在稳态剪切和稳态平面拉伸流动中的影响显示在图1中。

2

图1.XPP流体的流变学。（a）无量纲剪切粘度随无量纲剪切速率的变化; （b）特劳顿比率作为平面拉伸流动的无量纲应变率的函数（Tr中的剪切粘度用评估）。将流体A（）作为参考流体。 在流体B-E中，仅从参考流体A改变一个参数。流体B：; 流体C：; 流体D：; 流体E：

• 1. 边界条件

根据[25,39]的思想实现超应力张量的边界条件。总之，我们在流入和流体出口上设置，我们采用齐次第二类边界条件（见[24]）

其中n表示边界的法线方向

对于固体边界，我们使用无滑移条件，并直接从方程（10）中计算。

1. 自由表面流动的隐式有限差分法

纳维叶-斯托克斯方程（1）和（2）使用时间离散化Adams-Bashforth / Crank-Nicolson方法：

在不可压缩的纳维叶-斯托克斯方程中，连续性方程起压力场的作用，从而满足不可压缩条件。在实践中，从动量方程获得的速度线性系统必须通过连续性方程的离散化与线性系统耦合求解，从而产生非常大的线性方程组。为了克服这种困难并减小该线性系统的尺寸，许多作者已经提出了去耦技术。这些被称为“反射方法”和“步骤方法”的技术首先由Chorin [7]和Tem

资料编号：[3691]