文 献 综 述

1、 选题目的和意义：

无穷求和在统计物理学、量子力学和固体物理的教学中有重要的作用，特别是一维和两维原子链马德隆常数的求值，无穷求和的技巧至关重要。

常用的求和方法，有Parseval等式、特殊函数、泊松求和等方法。有限求和与渐近展开中，一个很重要的公式是欧拉(麦克劳林)求和公式，它把有限求和转化为区间上的积分，并把求和与积分之差明显表达出来。

这个公式是由莱昂哈德#183;欧拉（Leonhard Euler）和科林#183;麦克劳林（Colin Maclaurin）在1735年左右独立发现的（后来被推广为达布的公式）。欧拉需要它来计算缓慢收敛的无限级数，而麦克劳林用它来计算积分。

设是一个连续可微函数，那么我们可以用及其导函数的有关积分表示有限和。若令，则我们可以用广义积分表示相应的无穷级数。更一般的，当级数是函数项级数 这个级数可以用含参变数的广义积分表示。Euler求和公式对于研究级数和函数的渐近性质常常是很有用的。

Euler-Maclaurin求和公式来自对积分反复应用分部积分法，并利用伯努利多项式的性质。定义伯努利多项式为：

，

任一阶伯努利多项式在处的值记之为，称为伯努利数。

2、 国内外研究现状：