摘 要

在结构动力学中，如何准确预测某个动力系统在强迫振动的反应是其研究的一个主要方面。对于不同的体系，受到不同类型的激励，又可以将结构动力学划分为许多不同的分支。本文选取非线性滞回系统中的Bouc-Wen滞回模型系统为研究对象，探究其在谐和激励和随机激励联合作用下的响应特性。

基本思路为：假定系统的位移响应可以分解为确定性均值与零均值的随机分量之和的形式；基于此假定将位移表达式回代到系统的运动微分方程，可以得到一组相互耦合的确定性谐和激励的微分方程和随机激励的微分方程；分别利用谐波平衡法和统计线性化方法对两方程进行求解，得到响应的确定性均值表达式与随机分量表达式；这两个结果是相互耦合的，因此需要使用迭代求解的数值方法对两式解耦合，进而得到非线性滞回系统的近似解析解；然后利用Monte Carlo模拟对结果的准确性和精确度进行判定。

为了拓展该非线性模型的适用范围，以及模拟实际系统的精确性。本文对Riemann-Liouville定义和Caputo定义的分数阶导数在非线性系统中的应用进行了探索，研究分数阶微积分结合统计线性化方法在非线性系统中的应用。

本文从研究所使用到的理论知识展开论述，以经典的Duffing体系为切入点，简要阐述随机过程理论在随机振动研究中的应用。探究统计线性化方法、谐波平衡法和各种数值分析方法在非线性体系中的运用、发展现状和使用方法，并对非线性体系的分岔、跳跃、不稳定性进行了分析讨论。另外，还探究了分数阶分析方法在非线性随机振动中的应用。作为非线性随机振动的延伸，在本文的最后一章，还将阐述分数阶微积分在研究谐波与随机激励联合作用下的非线性系统的分析方法。

关键词：统计线性化；谐波平衡法；非线性体系；分数阶导数；Bouc-Wen滞回模型

Abstract

In structural dynamics, it is a major aspect of its research to predict the response of a dynamical system to forced vibration accurately. For different systems, the structural dynamics can be divided into many different branches by different types of excitation. In this paper, the Bouc-Wen hysteretic model system of nonlinear hysteretic system is selected as the research object to explore its response characteristics under the combined action of harmonic excitation and random excitation.

In this paper, the basic idea is that assume that the displacement response of the system can be decomposed into the form of the sum of the random components of the deterministic mean and the zero mean. Based on this assumption, a set of coupled differential equations of deterministic harmonic excitation and stochastic excitation can be obtained by substituting the displacement expression back into the system's differential equations of motion. The harmonic equilibrium method and the statistical linearization method are used to solve the two equations respectively, and the deterministic mean value and stochastic component expressions of the response are obtained. These two results are coupled with each other, so it is necessary to use the numerical method of iterative solution to decouple the two equations, and then obtain the approximate analytical solution of the nonlinear hysteretic system. Monte Carlo simulations were then used to determine the accuracy and accuracy of the results.

In order to extend the application range of the nonlinear model and to simulate the accuracy of the real system. In this paper, the application of fractional derivative defined by Riemann-Liouville and Caputo in nonlinear system is explored, and the application of fractional calculus and statistical linearization in nonlinear system is studied.

In this paper, theoretical knowledge used in the research is discussed, and the classical Duffing system is taken as a starting point to briefly explain the application of stochastic process theory in the study of random vibration. The application, development and application of statistical linearization method, harmonic balance method and various numerical analysis methods in nonlinear system are explored. In addition, the application of fractional order analysis method in nonlinear random vibration is also discussed. As an extension of nonlinear random vibration, in the last chapter of this paper, the analytical method of fractional order calculus for nonlinear systems under the combined action of harmonic and random excitation is also described.

Keywords: Statistical linearization; Harmonic balance; Nonlinear system; Fractional derivative; Bouc-Wen hysteresis

目 录

摘 要 I

Abstract II

目 录 III

第1章 绪论 1

1.1 选题背景及意义 1

1.2 文献综述 2

1.2.1 非线性体系随机振动 2

1.2.2 滞变体系的随机振动 3

1.2.3 分数阶微积分 4

1.3 本文研究的主要内容 5

第2章 随机振动理论基础 6

2.1 引言 6

2.2 随机振动分析方法 6

2.2.1 随机过程基本概念 6

2.2.2 平稳过程与非平稳过程 7

2.3 随机过程数值模拟 9

2.3.1 谱表现方法 9

2.3.2 随机过程的模拟 12

2.3.3 数值算例 13

2.4 随机振动分析方法 15

2.4.1 统计线性化方法 15

2.4.2 谐波平衡法 17

2.4.3 数值解法 19

2.5 本章小结 24

第3章 整数阶非线性系统 25

3.1 引言 25

3.2 非线性系统的统计线性化方法 25

3.2.1 Duffing体系的统计线性化 25

3.2.2 联合激励作用的Duffing体系 27

3.3 Bouc-Wen滞回非线性系统 33

3.3.1 Bouc-Wen滞回模型的数学表示 33

3.3.2 Bouc-Wen滞回的统计线性化 36

3.3.3 联合激励下的Bouc-Wen滞回系统 39

3.4 本章小结 49

第4章 分数阶非线性系统 50

4.1 引言 50

4.2 分数阶微积分 50

4.2.1 分数阶微积分定义 50

4.2.2 分数阶微积分的离散表达式 51

4.3 分数阶非线性系统 54

4.3.1 联合激励分数阶非线性系统 54

4.3.2 数值算例 58

4.4 本章小结 60

第5章 总结与展望 61

5.1 总结 61

5.2 展望 61

参考文献 61

致谢 64

绪论

选题背景及意义

在土木工程领域，人们往往希望能够提前预测随时间变化的外力作用下某种结构形式的体系结构响应特征，即结构的动力响应，这也是结构动力学研究的基本内容。早期的结构动力学，一直致力于周期振动、突加荷载等确定性激励作用下特定的结构的动力响应的研究，并且经过前人的大量开创性工作后，在确定性振动结构动力学方面，特别是对于线性系统已经建立了许多经典理论，克拉夫^[1]在其著作中有较为全面的论述。

但是，在许多实际工程的运用中，前面提出的经典理论并不能直接适用。一方面，作用于结构的动力荷载及其响应往往不是某个简单的关于时间的确定性函数，而是复杂的随机振动，例如：在地震工程中由于地震加速度引起的结构的惯性力、风工程中由于大气湍流引起结构的抖振以及近海结构在波浪激励下的响应等等，在这些情况下，激励及其响应不仅是非周期的，同时还缺乏可重现性。另一方面，实际的工程结构中，由于建筑材料物理特性和结构几何特性等诸多复杂因素的影响，我们所关心的系统往往表现出非线性的特点，确定性动力学中往往忽略这些因素的影响，也就无法体现出非线性系统的某些特性。因此，关于如何对随机激励作用下非线性体系的随机振动展开研究一直以来都是土木工程领域的热点。