摘 要

混凝土作为一种非均匀材料，由于泌水、收缩和骨料下沉等因素，在受荷载前内部就产生了许多微小裂缝，在外荷载的作用下，微观裂缝进一步发展成宏观裂缝从而引起结构动力特性的改变，因此在分析结构时考虑裂缝的影响是十分必要的。此外，在传统的结构分析中，往往不考虑结构的随机性，但现实中由于材料特性、物理性质和几何尺寸等因素的不确定性，传统的结构分析方法不能很有效地反应其真实属性，因此从随机性的角度来分析结构十分有意义，本文利用黄斌教授提出的递推随机有限元法来分析带裂缝混凝土梁的特征值和固有频率问题。

本文对以下三个方面进行了研究工作：

1、介绍裂缝的无质量扭转弹簧模型，采用解析法和有限元法计算结构的固有频率，说明有限元法分析带裂缝混凝土梁的可靠性，比较不同位置和不同深度裂缝对梁固有频率的影响。

2、详细介绍递推随机有限元法，进行高阶摄动法的递推，求解得出结构的特征值和固有频率的递推方程。在算例中与低阶摄动法、蒙特卡罗模拟方法比较，证明递推随机有限元法的准确性。

3、计算随机弹性模量的带裂缝梁结构的固有频率，分析随机梁结构固有频率的均值和标准差与变异系数的关系。

关键词:裂缝，随机结构，递推随机有限元法，固有频率

Abstract

As a kind of non-homogeneous material,there are many tiny cracks in internal concrete before load act,due to bleeding, shrinkage and aggregate sinking.Under the action of external load,these tiny cracks are further developed into macroscopic cracks,which can lead to the change of the dynamic characteristics of structures. In addition, in the traditional structural analysis tends to ignore the structural randomness.Due to the influence of material properties, boundary conditions and geometrical dimensions, the traditional structural analysis method can not effectively reflect the real property of the material in reality. It is very significant to analyze the dynamic characteristics of structures from the angle of randomness.In this paper, we use the recursive stochastic finite element method proposed by Professor Huang Bin to solve the eigenvalue problem and the natural frequency of the concrete beam with cracks.

In this paper, the following aspects of the research work:

1. A model of massless is introduced to describe the crack. Analytical method and finite element method are used to calculate the natural frequency of the structure.Through the comparison of analytical method and finite element method,proving finite element method is reliable in the cracked structures.The influence of different position cracks and different depth cracks on the natural frequency of the structure is also compared.
2. A recursive stochastic finite element method is introduced in detail. High order perturbation method of recursive is carried out and the eigenvalue and frequency of the recursive equation is solved.Compared with the low order perturbation method and the Monte Carlo method, the accuracy of the recursive stochastic finite element method is proved.
3. The natural frequency of the beam with cracks in the beam with random Young's modulus is calculated.The relationship between the mean and mean square deviation and coefficient of variation is analyzed in the random beam structure.

Keywords: crack, stochastic structure, recursive stochastic finite element method, natural frequency

目录

摘要 I

Abstract II

目录 III

第1章 绪论 1

1.1 研究的背景与选题意义 1

1.2 带裂缝结构的研究现状 1

1.2.1 等效降截面法 1

1.2.2 局部柔度法 2

1.2.3 裂缝的非线性研究 2

1.3 随机结构的研究现状 2

1.3.1 蒙特卡罗模拟方法(Monte Carlo Method) 3

1.3.2 摄动随机有限元法 3

1.4本文主要研究内容 3

第2章 带裂缝混凝土梁的分析方法 4

2.1 裂缝的扭转弹簧模型 4

2.2 带裂缝混凝土梁解析分析方法 4

2.2.1 自由振动分析 4

2.2.2 简支梁的频率方程 5

2.3 带裂缝混凝土梁有限元分析方法 6

2.3.1 有限元方法的频率方程 6

2.3.2 有限元方法中裂缝的处理 7

2.4 裂缝对梁固有频率的影响 8

2.5 本章小结 10

第3章 递推随机有限元方法 11

3.1 随机场的表示 11

3.1.1 随机场的空间离散法 11

3.1.2 随机场的谱分解法 12

3.2 递推随机有限元法(RSFEM) 15

3.2.1随机场或随机变量的表示 15

3.2.2递推随机有限元的递推算法 16

3.3 算例分析 19

3.4 本章小结 23

第4章 递推随机有限元法求解结构频率 24

4.1 递推随机有限元法中固有频率的求解 24

4.2 算例分析 26

4.3 本章小结 34

第5章 结论与展望 35

5.1结论 35

5.2展望 35

参考文献 37

致谢 39

第1章 绪论

1.1 研究的背景与选题意义

由于混凝土成型过程中的泌水、收缩和骨料下沉等原因，在承受荷载前就已经产生肉眼看不见的微裂缝，此外混凝土还是脆性材料，抗拉强度低，很容易产生裂缝，大部分混凝土都是带裂缝工作。在外荷载和内部应力的长期持续作用下，微裂缝不断发展成为宏观裂缝，成为混凝土结构破坏的根源，因此，对带裂缝混凝土结构的研究是必不可少的。

在以往的研究中，采用的模型通常是确定的，但是在实际生产中，往往由于种种原因，导致结构一开始就和预先设计的不同，随着时间的推移，结构也在发生不断的改变，因此，需要建立合理的随机模型来分析实际结构^[1]。

在随机模型中，应当根据实际工程情况，考虑如下的随机性：

1、材料的随机性。例如混凝土材料，由于在制作过程中的施工条件和养护条件不同，相同配比的混凝土的弹性模量、泊松比和密度等条件也会有差异。

2、几何尺寸的随机性。在实际施工中，由于制造和安装的误差，会导致结构尺寸与设计的不同，从而导致梁柱截面面积、惯性矩和长度等不是确定的。

3、边界条件的随机性。由于结构的复杂性，计算时模拟的边界条件与实际有出入，导致边界条件不是确定的。