文 献 综 述

1、 选题目的和意义

奇异期权是金融机构根据客户的具体需求开发出的，或嵌入结构性金融产品中用以实现特殊的风险收益的，具有相对大灵活性和多样的金融产品。然而其对模型的依赖和模糊的潜在风险也导致其定价及保值相对难度较大。而亚式期权是当今金融衍生品市场上交易最为活跃的奇异期权之一，理由如下：一方面，亚式期权采用了平均值而减少了波动，导致其比常规期权更加便宜，这对购买者更为友好；另一方面，亚式期权在对冲那些不断进行的小额交易风险时特别有用，这对市场上寻求套期保值的公司也更友好。因此，亚式期权在股权激励、汇率市场、债券市场等方面有着非常重要的作用。相比于它在业界受到的关注和其重要性，由于其推出时间比较短，导致亚式期权的理论研究相对滞后。而如此受欢迎的期权，其定价却不是那么简单的。因为影响其定价的不仅仅是常规的标的资产初始价格，到期的敲定价格，到期时间，还和一段特定时间内的平均价格有关，这个特定时间既可以是整个期权有效期或者其中的不分时段。另外，亚式期权所采用的平均值分为几何平均值和算术平均值，当前研究下，几何平均亚式期权已经有了具体的定价公式。但是在Black-Scholes环境下，标的资产的价格是假定对数正态分布的（或几何布朗运动），标的资产的算术平均价格是对数正态变量之和，而对数正态变量之和的概率分布并不能呈现对数正态分布。因此算术平均亚式期权暂时还没有其定价公式的解析解形式。

虽然说没有定价公式得到算术平均亚式期权的数值解，但是可以通过蒙特卡罗模拟的方法，模拟标的资产价格的随机运动，预测期权的期望回报。但是蒙特卡罗模拟也有其不足，通常其有较大的波动方差，影响模拟的精度。

本研究就是由此展开，讨论蒙特卡罗模拟在亚式期权中的应用，通过程序模拟亚式期权的定价等，并选择相关的投资案例进行定价。更进一步研究蒙特卡罗模拟在生活其他方面更深的应用及其可能潜在对生活所带来的改变。

2、综述

是否有活力和变化是判断一个市场好坏的标准之一，期权市场也不例外。在世界经济飞速发展的当今社会，传统模式的期权已经不能很好满足人们对于盈利和规避风险的需要了，奇异期权就是在这样的市场推动下诞生的。奇异期权的基本类型包括分拆和组合、弱式路径依赖（障碍期权）、强式路径依赖（亚式期权、回溯期权）、时间依赖、维数和阶数。由于奇异期权是金融机构根据客户的具体需求开发出来的，或者是嵌入结构性金融产品中用以实现特殊的风险收益，其灵活性和多样性是常规期权所不能比拟的。但正是因为其灵活多变的特点，使得对奇异期权的定价和保值也往往相较于传统期权更为困难。对其进行定价操作，不仅需要依赖正确的模型，还需要考虑现实中复杂无穷的变化，而这是传统定价方法所无法做到的。但是由于蒙特卡罗模拟方法的存在和现代计算机软件的发展，我们完全有能力，通过设计合理正确的模型，把计算和模拟工作交给程序，得到最终合理的定价方法。尤其在金融方面，由于其可以通过模拟标的资产价格的随机运动路径得到期权价值期望值的数值，被认为是一种应用十分广泛的期权定价方法。由于风险中性定价法可以使问题大大简化，因此主要是蒙特卡罗模拟在风险中性世界中的应用。而这正是蒙特卡罗模拟方法优越的地方，只需要足够的数据支持，即可进行足够的模拟，得出适用于复杂随机过程和复杂终值计算的结果。因为蒙特卡罗模拟在以下方面有着一般定价方法所没有的优势：期权的回报仅仅取决于标的变量的最终价值的情况；期权的回报依赖于标的变量所遵循的路径，即路径依赖的情形；期权的回报取决于多个标的变量的情况，尤其当随机变量的数量增加时，蒙特卡罗模拟的运算时间近似为线性增长，而不像其他方法那样以指数增长。同理，其基本原理亦可应用在现实世界中。

当然大多数奇异期权和路径依赖期权的定价仍然可以在B-S-M模型框架中进行。例如，障碍期权中的障碍条件主要反映在相应的边界条件上，连续平均的亚式期权在原来的偏微分方程中加进了对新的平均值变量的一阶偏导。我们可以得到其中一些奇异期权的定价公式。虽然通过以上方法得到的最终结果不一定精确，但是对通过蒙特卡罗模拟得出的结果，一定程度上可以进行比较来检验模型设定是否合理或者算法过程是否正确，具有一定的参考价值。

以当今金融衍生产品市场上交易最为活跃的亚式期权为例。与普通期权相不同的是，亚式期权到期回报依赖于标的资产在一段特定时间（整个期权有效期或其中部分时段）内的平均价格。首先这个平均值A既可以选择替代到期资产价格，则看涨期权的到期回报为max（A-X,0），看跌期权为max(X-A,0)；又可以选择替代执行价格，则看涨期权的到期回报为max（S-A,0）,看跌期权为max(A-S,0)。其次就是关于如何取这个平均值了，具体有两个分类，算术平均值,即A=（S1 S2 #8230; Sn）/n和几何平均值，即lnA=(lnS1 lnS2 lnS3#8230; lnSn)/n。

在几何平均亚式期权下，有一个比较著名的Kemmaamp;Vorst解析解定价：看涨期权价格
，看跌期权价格，其中，，。其中S是标的资产初始价，是标的资产价格波动率，D是股息率（如果标的资产是股票），T是期权距离到期时间，r是无风险利率，X是执行价格，N是标准正态分布的累积分布函数。