摘 要

摘 要：在这篇文章中我们将在分数阶Sobolev空间的框架下研究R上一类非齐次半线性分数阶方程，我们需要证明该方程极小正解的存在性，为了解决方程解的存在性问题，我们需要建立相应的集中紧致原理，然后利用变分法证明该方程的解是存在的，然后建立相应的弱强极值原理和方程的先验估计，可以证明这个解是正的。因此证明该方程正解在一个开区间是存在的。

关键词：分数阶Laplace方程；极值原理；上下解；集中紧致原理

Abstract

Abstract:In this article we will be in fractional Sobolev space under the framework of research on the R class of nonhomogeneous linear fractional Laplace equation, we need to prove that the minimal equation of the existence of positive solutions, in order to solve the problem of the existence of equations, we need to build the corresponding concentration compact principle, then the variational method is used to prove the existence of solutions of the equation of, then set up a corresponding strong weak maximum principle and the equation of a prior estimate, the solution has been proved to be positive. Therefore, it is proved that the positive solution of the equation exists in an open interval.

Keywords: fractional Laplace equation; Extremum principle; Upper and lower solutions; Principle of concentrated compaction

目 录

摘 要 II

Abstract III

目 录 IV

第一章 绪论 1

1.1 课题背景 1

1.2 分数阶方程的研究现状及分析 2

1.3 本文的主要研究内容 6

第二章 预备知识 7

2.1 分数阶Laplace方程算子 7

2.2 泛函分析基础知识 8

2.2.1 连续映射 8

2.2.2 范数和赋范线性空间 8

2.2.3 有界线性算子概念 9

2.2.4 强收敛与弱收敛 10

2.2.5 内积和希尔伯特空间 11

2.3 分数阶Laplace方程的泛函框架 12

2.4 分数阶Laplace算子的基本性质 15

第三章 非齐次半线性分数阶Laplace方程求解 18

3.1 前言 18

3.2 分数阶嵌入定理 19

3.3 极值原理、先验估计和集中紧致原理 20

3.4 正解的存在性 28

参考文献 32

致谢 35

第一章 绪论

1.1 课题背景

在17世纪为了解决一些关于运动，曲线切线，最值，几何等问题促使微积分产生。在微分方程的基础上发展出来了常微分方程和偏微分方程。微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念的数学分支，现在已经成为数学的一个极其重要的基础学科。作为微积分的基础概念，整数阶导数和整数阶积分有着实际的物理意义。常微分方程和偏微分方程理论就是以此为基础发展而来的，在现在的科学与工程中微分方程理论都发挥着巨大的应用价值。

类似于经典的整数阶微积分，分数阶微积分^[1]开始发展起来。分数阶微积分研究函数的任意阶导数和任意阶积分。其最早出现在写给的一封信里，后经过大量的学者总结完善，最终由Riemann利用Cauchy积分公式，由经典的积分定推广得到下式：

称为Riemann-Liouville分数阶积分。

分数阶微积分在近三个世纪的时间内发展比较缓慢，很少有人注意到分数阶微积分的重要性，甚至有人开始怀疑分数阶微积分的理论，直到Mandelbrot^[2] 指出在自然界和科学技术中存在着大量的分数维，并建立分形几何和分数维理论，这种情况才慢慢得到改善。自然地，作为分形几何和分数维的基础的分数阶微积分引起了广泛的关注，并得到了快速的发展。

Laplace方程能够很好地解释很多实际问题中的扩散现象，然而却不能解释许多反常扩散现象，为此出现了分数阶Laplace方程。它具有如下优点:（1）可以看作是整数阶微积分的推广，所以分数阶微积分可以揭示更广泛的科学现象；（2）具有非局部性，分数阶导数、分数阶积分和分数阶Laplace算子都是非局部算子；（3）具有良好的记忆性和遗传性[33]。

1.2 分数阶方程的研究现状及分析

通过许多学者的不懈研究，古典的Laplace方程得到了快速的发展，这一类偏微分方程在数学、物理、化学、力学，生物等许多领域都发挥着重要的作用。在实际应用中，问题通常以非线性的形式出现，可以归结为如下的非线性方程:

其中是算子，具体定义为

关于非线性且满足特定的增长性条件。生活中的许多扩散现象可以用方程很好地解释，然而Laplace方程却不能解释许多反常扩散现象，因此才发展出了分数阶算子。

分数阶方程很多的性质都可以由古典的方程推广得到。下面介绍分数阶方程的研究现状，通过和古典的方程比较可以看出，分数阶方程的研究进程和方程大致相同。

可以通过随机过程的方法研究分数阶算子。算子是一类二阶椭圆算子，而二阶椭圆算子和扩散过程之间存在着紧密的关系。对于算子，存在一个上的扩散过程，使得是过程的无穷小生成元。方程的基本解则是过程的转移概率^[3]。

考虑到上旋转不变的稳态过程。此时，为过程，且

对这一过程，其生成元是，它对的作用可以用下式表示

其中，是常数，表示取柯西主值。即生成一个过程，为对称稳态过程，相关内容参见文献^[4]。在这里就是分数阶算子，这里的(1-1)是分数阶算子很多种等价的定义中的一种。

和古典的方程一样，分数阶方程的定义域可以分成两类，一类是整个，另一类是有界区域。下列是上分数阶方程的一些结果。