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摘要：

经典二次规划(QP)公式的著名的投资组合选择问题历来被认为是繁琐和耗时的。本文给出了两个附加模型(i)极大极小和(ii)平均绝对偏差最小。研究人员使用了67种证券48个月的数据，来检验这三种公式在多大程度上提供了类似的投资组合。正如预期的那样，maximin配方的收益和风险最高，而QP配方的风险和收益最低，这也创造了有效边界。平均绝对偏差的最小值接近QP公式6个月后，当预期收益与真实收益相比较时，最大化投资组合似乎是最稳健的。

关键词 线性规划 最优投资组合 回报和风险

介绍

收益预期和风险是最优投资组合的重要参数。两种著名的制定最优投资组合的方法是(i)风险最小化，给定一定的最小收益，和(ii)收益最大化，给定投资者希望承担的最大风险。不过，这些方案不一定会产生有效的投资组合。有可能找到其他有效的投资组合，在相同的风险下获得较高的预期收益，或在相同的预期收益下获得较低的风险。本文将著名的投资组合问题表述为经典的(a)二次规划(QP)，并将其与(b)极大化和(c)极大化的绝对偏差公式进行比较。所有配方都将使用来自瑞典证券交易所的67只股票进行测试。这些模型也将与一个简单的效用函数和样本外数据进行比较，以调查它们的真实性能。

(a)马科维茨二次规划

哈里-马科维茨1 是第一个应用方差或标准偏差作为风险度量的。他的经典表述如下：

以下条件

有和证券(为证券数量)

是这些证券的协方差；

rjt是每克朗的回报，在t期间投资于证券j；

rj是整个T期间证券j的平均回报率；

xj是证券j的投资组合配置，这些是问题的变量，不应超过上限uj；

alpha;是特定投资者要求的最低（预期）回报率；

B是投资组合的总预算。

这个经典模型在两个重要的假设下总是有效的：（a）期望收益是多元正态分布的；（b）投资者是风险规避者，总是倾向于较低的风险。

注意，约束（a3）不允许卖空证券。如果排除这一限制，允许卖空，则会得到不同的解决方案，可能会增加投资组合中的证券数量。

此外，下面这个简单的例子表明，方差-协方差矩阵的最小化可能会导致投资组合的低效，除非有人将一个足够高的预期回报率设定为显式的。投资组合X在特定时期内的收益率为8%（偶数季度）或16%（奇数季度）。另一方面，同期投资组合Y的收益率为7%或8%。如果alpha;lt;7%，则不应选择投资组合X，因为Y的方差较低，尽管X在所有季度都优于Y！

马科维茨经典公式的另一个问题是它的复杂性。由于目标函数是二次函数，可能需要一些时间才能找到具有大量证券的最优解。例如，对于300种证券，我们必须计算（n（n 1））/2=44850个组合的方差协方差矩阵。然而，时间问题不再是关键，因为现代计算机和全局优化软件包大大缩短了求解时间。

另一方面，即使计算不繁琐，实现最优解的要求也很高。在现实中，人们往往满足于局部极小值，或次优解。例如，如果证券的数量大于500，那么投资组合中可能包含多达200种证券。这迫使投资者将一部分预算分配到大量的小块股票中。考虑到交易成本，将预算分成许多小块股份可能无利可图。如果我们将问题重新表示为整数（例如最小100个共享块），那么难度会急剧增加。专家认为，整数二次规划与超过50证券可能是很难解决的！另一方面，线性规划近似更适合处理这种修改。

(b)Maximin配方

如上所述，标准收益和风险公式将方差视为风险波动性的度量。有许多研究者（也有交易者）质疑协方差矩阵sigma;是否是一个恰当的风险度量。他们假设普通投资者对风险的看法是不对称的。很多时候，一个小小的损失就足以让人非常难过。另一方面，利润必须相当高，以使投资者非常高兴。这意味着，马科维茨经典模型应被视为是对所有投资者面临的相当复杂问题的近似。

另一种说法是最大化投资者要求的最低回报。根据Young2的说法，这样一个公式是基于1991年1月至1995年12月8个国家股票指数的月回报率，以及模拟研究得出的，与经典的Markowitz模型表现相似。

此外，Young认为，当数据是对数正态分布或倾斜时，与经典的方差最小化方法相比，maximin公式可能是一种更合适的方法，后者是正态分布数据的最佳方法。如果投资组合优化问题涉及大量的决策变量，包括整数变量，或者效用函数比经典的方差最小化所暗示的更具风险厌恶性，那么maximin公式也可能更可取。

为了将问题描述为一个极大值，我们需要一个附加变量Zge;0，它被定义为每个周期的最小收益。请注意，Z不是事先决定的，但它将是最优解的一部分，并且可能不同于投资者明确的要求回报率alpha;。目标函数是使最小收益最大化。

关于约束条件，我们可以假设每个时期的收益率至少等于Z。对于时期t，这个约束条件可以表示为：

其中，如前所述，rjt是t期间的安全性j的回报。如果没有其他约束，例如（ai）、（a2）和（a3），这显然是可能的。此外，很容易证明，即使包括这些约束，也有可能。例如，如果alpha;很低，则Z将是非负的，并且将获得可行解。

总之，定义以下线性规划：

最大Z

这种表述的要点是，所有这些约束都捕捉到了投资组合波动性中有趣的“下行”风险。我们只是不允许这种“下行”风险低于Z。另一方面，“上行”风险不受关注，可以自由变化。但是，如果某一时期的股票总收益为负，那么这个公式将导致一个不可行的解决方案。在这种情况下，不存在在该期间提供最低回报的正股票投资组合。那么，实现可行解决方案的一种可能性就是允许Z自由，即在特定时期内也接受负的最低回报，这可能不令人满意。修复不可行性的另一种替代方法是应用Leon、Liern和Vercher3提出的模糊优化方法。

(c) 平方绝对偏差最小化

另一种简化马科维茨经典公式的方法是使用绝对偏差作为风险度量。Konno和Yamazaki4以及后来的Speranza5、Mansini和Speranza6以及Rudolf、Wolter和Zimmermann7制定了类似的模型。

根据Konnoamp;Yamazaki的观点，如果收益率是多元正态分布，则平均绝对偏差（MAD）的最小化提供了与经典Markowitz公式相似的结果。另外，根据Rudolf，Wolteramp;Zimmermann的观点，MAD的最小化，或者说绝对下行偏差的最小化，相当于风险规避下的预期效用最大化。Mansiniamp;Speranza提出了一个一般的平均半绝对偏差模型，并开发了一个混合整数LP算法来解决一个相对较小的问题（少于20种证券），在米兰证券交易所交易。

众所周知，MAD的定义是：

该函数取代了Markowitz方差-协方差目标函数，并将最小化。

由于这个目标函数不是线性的，我们必须先把它线性化。我们将遵循Konno和Yamazaki的转化程序。

我们首先定义所有的Ytge;0变量，t=1。。。，T。这些Yt变量可以解释为非线性的线性映射

注意（rjt-rj）是share j的偏差参数。因此，目标函数是最小化平均绝对偏差

现在将目标变量Yt与其他约束中出现的变量联系起来。考虑周期t，因为Yt与

Yt必须履行

而且，

给定约束（a1）-（a3），约束（c1）确保，如果该期间的所有偏差均为负，则Yt为正；约束（c2）确保，如果所有偏差均为正，则Yt为正。

最后，线性规划变成：

但是，在正负偏差混合的情况下，一些最优的Yt值也可能为零。然而，当我们继续所有剩余的周期时，无论同一周期的信号是否交替，一些Yt都将是正的。当然，这是由预算限制所保证的。

这种提法有许多优点。例如，不需要估计方差-协方差矩阵，即使对于大型问题，该模型的最优解也相当快。事实上，无论股票数量多大，约束的数量都是由T决定的。如果我们计算预算和退货需求约束，约束的数量就是2t 2。最优解不能包含超过2T 2股的投资组合，如果股票数量非常大则不考虑。因此，如果希望限制投资组合中的股票数量，可以使用T作为控制变量。解决方案总是存在的，即使所有可能的股票恰好在同一时期产生负回报。最后，该模型可以很容易地重新表示为整数LP，以考虑固定和可变成本或其他决策变量，如Konno和Wijayanayake8最近提出的。

数据和结果

所有三个模型都进行了测试，使用了1997年1月至2000年12月期间在斯德哥尔摩证券交易所（SSE）交易的67只股票的月度回报。此外，为了测试这些模型的真实性能，还遗漏了另外6个观测（直到2001年6月）。我们在2000年12月停了下来，因为在过去两年里，同世界许多地方一样，回报率急剧下降。SAX全股指数在选定期间的平均年回报率分别为27%、10.8%、66.5%和-12%，即平均23%，这被认为是历史上相当高的回报率。48岁使用的观察结果可能不是构建最佳投资组合的适当样本。此外，1995年和1996年的趋势与1997年和1998年相当相似。因此，即使有72个观察值的投资组合可能不同，回报和风险也会相当相似。虽然我们的目标是将在斯德哥尔摩交易的所有股票包括在内，但我们排除了目前已上市的近3/4的股票，原因如下：（i）100多家公司在开始阶段没有上市，但后来在不同的日期进入上交所。（ii）由于所有测试的投资组合都是基于历史回报率，因此在检查期间平均回报率为负的18只股票也被排除在外。（三）审查期内，有50多家公司因各种原因离开本所。（四）长期以来，约10只股票的成交量相当低。（v） 最后，近20只股票被列为A股、B股，有时还被列为C股。在这些情况下，只包括交易量最大的股票（通常是B类股票）。值得一提的是，交易量最大的股票都没有被排除在外。我们的投资者计划投资100000瑞典克朗，并要求每月至少1%至3%的回报。投资者们还希望，任何股票的收益都不会超过预算的60%。此外，忽略了无风险利率，不允许卖空。

附录中的表A1仅描述了37家公司的描述性统计数据，即那些至少出现在投资组合中一次的公司，如随后的表A2a和A2b所示。有27家公司表现出正偏态，即高上行潜力，10家公司表现出负偏态。另外，有25家公司有瘦肉精分布，只有12家是扁豆精分布。因此，由于数据更偏斜，我们应该期望maximin模型是最合适的，正如Young所说。我们首先求解了由25股、50股和67股组成的投资组合的所有模型，以确定股票数量是否影响求解过程的速度，特别是在模型一（minsigma;）中。没有发现这样的证据。事实上，该模型的最优解是在不到0.10秒的时间内计算出来的，有25股和67股。此外，该模型的解决方案快了几十秒！因此，少量的共享和观察不允许我们接受经典QP模型是麻烦和耗时的共同论点。不过，对于所有这些模型，正如预期那样，当股票数量增加时，收益和/或风险都得到了改善。然后使用所有67股股票，我们测试了模型2（最大值）和模型3（最小∣sigma;∣）在多大程度上提供了与模型1“相似”的估计，正如这些模型的支持者所争辩的那样。在表1中，我们总结了各种alpha;值的预期收益和风险。附录（表A2a和A2b）给出了四种不同alpha;值的最优投资组合中股票的权重。当alpha;值较低时，模型三中的份额最大（31），当alpha;=3%时，模型二中的份额最小（16）。尽管这些投资组合之间的相关系数非常高，但也存在一些差异。在alpha;值范围内求解经典QP模型得到有效前沿。图1清楚地显示了这一点，图中绘制了所有投资组合。对于最大值模型，投资组合效率的程度较高，因为它导致相同回报率的sigma;高40-50%，而在MAD模型中sigma;则高8-13%。因此，尽管数据支持maximin公式，MAD模型更接近QP模型。此外，对于低到中等的alpha;值，模型2和模型3提供了比要求的更高的预期回报，也提供了更高的风险。注意，模型2中的投资组合非常稳健，alpha;值在1到2.25%之间保持不变。

表1月平均预期收益率（R）和风险（sigma;）