论文总字数：8315字

摘 要

我们学过很多求和方法，像特殊函数、泊松求和、帕谢互尔等式等方法.在有限求和与渐近展开的问题中，Euler-Maclaurin求和公式起到了非常强大的作用，它通过将我们的有限求和巧妙地变为求解区间上的积分，同时将求和与积分之间的关联明显表达出来.

这个公式是由科林麦克劳林（Colin Maclaurin）和莱昂哈德欧拉（Leonhard Euler）在年第一次推导出来的.欧拉用这个公式来计算缓慢收敛的无限级数，而麦克劳林用它来计算积分.

本文介绍了欧拉麦克劳林求和公式的起源与发展,国内外研究现状和一些理论概述，伯努利多项式.

本文先是根据伯努利多项式，通过反复使用分部积分法，验证了到上的积分.接着用了两种不同的证明方法，通过矩阵的方法，带积分余项的泰勒展开式，特殊的上三角线性方程组的求解^[9]，来证明麦克劳林求和公式，同时由此来推导龙贝格积分的递推过程，并应用公式来求解椭圆积分.

关键词:连续可微函数 幂级数 积分 矩阵 泰勒展开式

The proof and application of the Euler-Maclaurin summation formula

Abstract

We have learned a lot of summation methods, such as special functions, Poisson summation, Paxiehuer equation and so on. In the problem of finite summation and asymptotic expansion, the Euler-Maclaurin summation formula plays a very powerful role. It subtly turns our finite summation into integral on the solution interval. At the same time, the association between summation and integral is clearly expressed.
This formula was first deduced by Colin Maclaurin and Laianghade•oula Euler in 1735. Euler uses this formula to calculate the infinite series of slow convergence, and Maclaurin uses it to calculate the integral.

This paper introduces the origin and development of Euler-Maclaurin summation formula and some theoretical summaries, Bernoulli polynomials.
In this paper, based on Bernoulli polynomials, the integral on 0 to 1 is verified by repeatedly using the partial integral method. Then two different proof methods are used. Through the matrix method, the Taylor expansion with integral remainder terms, and the solution of the special upper triangular linear equations are used to prove Euler-Maclaurin summation formula. Then I use it to derive the Romberg quadrature formula recurrence process, and to solve the problem of elliptic integral.

Key words: continuously differentiable function; power series; integral; matrix; Taylor’s expansion

目 录

摘 要 I

Abstract Ii

第一章 引言 1

1.1 研究目的及意义 1

1.2 研究相关背景 1

1.2.1起源与发展 1

1.2.2 国外相关研究回顾 2

1.2.3 国内相关研究回顾 3

第二章 理论概述，公式及定义 4

2.1理论概述 4

2.2公式及定义 4

2.2.1欧拉-麦克劳林求和公式 4

2.2.2伯努利多项式 4

第三章 本文证明方法 6

3.1准备工作 6

3.2证明方法 7

3.2.1方法一 7

3.2.2方法二 10

第四章 麦克劳林求和公式的应用 14

4.1 推导龙贝格积分的递推过程 14

4.2应用公式求椭圆积分 15

参考文献 18

致谢 19

第一章 引言

1.1 研究目的及意义

欧拉求和在统计学，生物学和物理学的研究中有十分有用的意义，尤其是在一维和两维原子链马德隆常数的问题上，邱为钢^[8]通过欧拉麦克劳林求和公式，探索出了圆链上马德隆常数的一般表达式和渐进展开式.

给出欧拉麦克劳林求和公式

当很大时，它不仅能够计算出渐进级数和的表达式，它还可以用来估算积分.

欧拉麦克劳林求和公式在函数和级数的收敛性质的研究上常常是有很大作用的.

1.2 研究相关背景

1.2.1起源与发展

莱昂哈德.欧拉在年代初发现了他强大的“求和公式”^[2].他在年使用它来计算的前位小数，由此一些数学家惊讶地发现

欧拉公式虽然通常会发散，但对于许多缓慢收敛或发散的级数，欧拉公式为它们的部分与无限和提供了惊人的加速逼近.

年Pietro Mengoli首次提出了一个问题

欧拉证明了

.

部分原因是通过扩大项数来推导他的“求和公式”.因此，他的新思路涵盖了巴塞尔问题和探索幂和的闭公式，，自古以来就一直在寻求面积和体积的研究.求和公式帮助欧拉解决了这两个问题.年左右，岁的欧拉和他的常驻记者克里斯蒂安戈德巴赫和丹尼尔伯努利一起研究出了一些方法来找到越来越精确的小数或小数估计值.但高度精确的近似是具有挑战性的，因为该级数收敛非常缓慢.他们可能试图猜测这些项的精确值，希望能够探索出他们的近似值与一些熟悉的东西联系，可能涉及，就像莱布尼茨的级数已经总结为.仅仅七个半星期之后，欧拉完全解决了著名的巴塞尔问题，用完全不同的方法证明了级数的精确的总和是.最后，欧拉推导出他的求和公式，根据超越函数分析伯努利数的生成函数，推导出伯努利数的若干性质，表明它们以超几何学的方式增长，证明伯努利的幂和的公式，并找到所有的精确的总和，且用伯努利数来表示无穷级数.

欧拉将他的求和公式与伯努利数联系起来，并证明了伯努利猜想的幂和公式.他还将公式应用于谐波部分和与相关伽马常数以及对数和，从而轻松地近似大因数（斯特林的渐近逼近）和二项式系数.他甚至提出了的近似值，他自己居然也说很难相信如此精确的结果.欧拉以一般化的例子推导结论，只使用他的求和公式“直到它开始发散”，并在求和公式的每次运用中确定相关的“欧拉–麦克劳林常数”.他的工作也开始研究黎曼 函数.

1.2.2 国外相关研究回顾

Pengelley, David J.在《"Dances between continuous and discrete: Euler's summation formula》^[2]中探索了欧拉公式和更多样化的应用.该文先讨论了巴塞尔问题和求和公式，使用泰勒级数的微积分，结合熟练使用求和，把函数值的总和与许多连续的整数相似的总和联系起来，递归.在欧拉展示了如何运用他的求和公式来推导新的结果之前用于函数的各种选择，他研究了一个非线性微分方程的幂级数解，其余导函数满足其导数公式.微分方程产生二次递归公式系数. 欧拉还探讨了数的理论性质系数，包括分子的增长和因子分解.欧拉展示了如何从总和中提取公式近似精确到位，然后很容易得到发散谐波序列的前一千项之和到个地方，可以用他的方法来逼近所需的任何精度，然后应用

求和公式来找到任意大的有限值谐波总和达到相同的精度.

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