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1. 研究目的与意义及国内外研究现状

harnack不等式是椭圆方程解的正则性的核心性质，弱harnack不等式是证明harnack不等式的重要工具。barlow-murugan在度量测度空间的框架下证明了椭圆方程harnack不等式等价于特定测度下的抛物harnack不等式，从而解决了椭圆harnack不等式的稳定性问题。是否存在一个不依赖于抛物理论的证明成为当前一个重要公开问题。本论文旨在发展纯度量空间框架下的弱harnack不等式，为解决该问题做一个基础性的准备工作。

国内外研究现状

对harnack不等式的研究最早可以追溯到1887年，在那个时代，这一强大的结果为调和函数提供了有用的紧致性性质.1957年，degiorgi和nash分别在这一方向上取得突破性进展——从各自的角度出发证明了散度型二阶椭圆方程解的局部有界性与hlder连续性.

六十年代，moser改进了de giorgi和nash的方法，在他们工作的基础上证明了散度型椭圆方程的harnack不等式.

2. 研究的基本内容

主要研究在度量测度空间的框架下散度型椭圆方程解的正则性.在De Giorgi-Nash-Moser理论的基础上，讨论散度型齐次椭圆方程解的局部有界性和局部Hlder连续性.之后尝试证明非负弱上解的弱Harnack不等式，并以此为桥梁，用纯度量的方法证明Harnack不等式.

3. 实施方案、进度安排及预期效果

实施方案：

第1节引言部分，综述历史上对harnack不等式的研究并简单概括文章的主要内容.第2节介绍满足加倍性质的度量空间及其基本性质，在此框架下，第3节将运用de giorgi的方法证明散度型齐次椭圆方程解的局部有界性;第4节将给出de giorgi-nash-moser理论中hlder连续性的一个特殊情况——散度型齐次椭圆方程的一个弱解的hlder连续性;在第5节，文章将证明非负弱上解的弱harnack不等式;在前面三节的基础上，本文第6节以纯度量的方法证明harnack不等式;最后一节将简述非散度型椭圆方程的harnack不等式证明框架.

进度安排及预期效果：

4. 参考文献

[1] j. moser, on harnack’s theorem for the elliptic differential equations,comm. pure appl. math. 14(1961), 577-591

[2] q. han and f.-h. lin，elliptic partial differential equations. courantlecture notes, vol.1. american mathematical society. 2000

[3] m.t. barlow and m. murugan,stability of the elliptic harnack inequality. annals of mathematics 187(2018), 777-823