全文总字数：1941字

1. 研究目的与意义及国内外研究现状

目的：在数学问题的分析证明中，很多时候我们都要用到凸函数，通过对凸函数的研究和讨论，了解并熟练运用凸函数的定义和性质解决与凸函数相关的问题。

意义：自建立了凸函数理论以来，凸函数这一重要概念已在许多数学分支中得到了广泛应用。凸函数涉及了许多数学问题的讨论、证明和应用，如在数学分析、函数论、泛函分析、最优化理论等。应用研究方面，凸函数作为一类特殊函数，在现代优化学、运筹学、管理学和工程测绘学等多个学科有着重要意义和很好的应用。由于凸函数具有较好的几何和代数性质，在数学规划中有着广泛的应用背景，一些常见的不等式都可以从函数的凸性中导出。数理经济学中，对于风险厌恶的度量也可以表现为对效用函数凸性的选择，所以研究凸函数的性质就显得十分必要了。另外，由于凸函数理论的广泛性，对于其理论的研究成果还待进一步的深入和推广。

国内外研究现状

凸函数是一类性质特殊的函数，作为数学的一个比较年轻的分支，是在50年代以后随着数学规划、最优化控制、数理经济学等应用数学学科的兴起而发展起来的。到目前为止，凸函数的研究已经从定义的研究到凸性的研究、再到凸性应用方面的研究。对函数凸性的研究在数学分析的多个分支都有用处，特别是在函数图形的描绘和不等式的推导方面，凸函数起着十分重要的作用。凸函数尤其独特的良好性质。由于凸函数理论的广泛性，尤其在数学各个领域都有广泛应用，因此，对于凸函数理论进一步深入的研究和推广就显得尤为重要。同时，凸函数作为数学分析中一类特殊的函数，在实际课本中一般只介绍其定义以及判断，然而在它证明不等式中具有的得天独厚的用处却极少涉及。

2. 研究的基本内容

本文的具体工作如下：

1.查阅相关文献、参考书目等，列出作者、书名、出版日期、期刊号。

2.了解凸函数的背景及意义。

3. 实施方案、进度安排及预期效果

1.第1周-第2周：在导师指导下，完成一篇外文资料翻译。

2.第3周：阅读有关文献（不少于15篇），查找相关资料，进行课题调研。

3.第4周：完成开题报告。

4. 参考文献

1. 陶有德，任鹏，路振国.凸函数极值点的分布问题[j].淮北师范大学学报，2011，32(3).

2. 华东师范大学数学系.数学分析：上册[m].北京：高等教育出版社，2001.

3. 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[m].北京：高等教育出版社，2006.

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