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级数的收敛性判别及应用开题报告

 2021-12-30 21:28:39  

全文总字数:1720字

1. 研究目的与意义及国内外研究现状

级数理论在《数学分析》中花费了较多的篇幅来介绍,是研究“无穷多项相加”的理论,是把我们的思维从有限延展到无限的一架桥梁,同时它也是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。正项级数是众多级数类型中最简单的一种,而研究数项级数的首要问题就是判别其的敛散性问题。在当今这样一个科技大融合的时代,级数理论早已渗透到其他科技的很多领域,不但是数学中的重要研究方向,也成为其他学科有力的理论支撑。判别数项级数的敛散性,是研究级数问题的重中之重。

国内外研究现状

从18世纪以来,级数的一个重要的作用就是帮助研究微积分。随着研究的深入,除了用于微积分之外,级数的应用也逐渐开始应用于计算一些特殊的量,如e以及对数函数和三角函数值。级数也是进一步研究函数的有力工具:一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数,微分方程的解就常用级数表示;另一方面又可将函数表为级数,从而借助级数去研究函数,例如用幂级数研究非初等函,以及进行近似计算等。随着研究领域的逐渐扩展,数学家们运用级数所取得的成功变得越来越多。

2. 研究的基本内容

本文将写出判别正项级数敛散性的若干种方法,及其中几种方法的延伸,最后列出级数的若干应用。

首先,探讨正项级数敛散性的含义及其几种常用的判别方法,常用的方法有比较判别法、达朗贝尔判别法、积分判别法等,然后初步探讨数项级数敛散性判别方法的选取,即该如何选择一种恰当的判别方法来判别一个数项级数的敛散性。

其次讨论了拉贝等判别法的进一步延伸,最后列出级数的应用。

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3. 实施方案、进度安排及预期效果

实施方案及预期效果:正确理解正项级数敛散性的含义及其常用的几种判别方法,然后从级数理论的基础知识入手,收集相关资料,运用归纳总结的方法,探讨正项级数敛散性各种判别方法及适当的延伸,最后查阅资料列举级数的应用性。进度安排:

1、选题及任务书填写:2016年12月20日前

2、开题报告填写:2017年4月8日-2017年4月10日

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4. 参考文献

[1]华东师范大学数学系.数学分析下册(3版)[m].北京:高等教育出版社.

[2]裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[m].第二版.高等教育出版社.

[3]费定晖,周学圣.吉米多维奇数学分析习题集题解[m].第三版.山东科学技术出版社.

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