全文总字数：1720字

1. 研究目的与意义及国内外研究现状

级数理论在《数学分析》中花费了较多的篇幅来介绍，是研究“无穷多项相加”的理论，是把我们的思维从有限延展到无限的一架桥梁，同时它也是表示函数、研究函数的性质以及进行数值计算的一种工具。正项级数是众多级数类型中最简单的一种，而研究数项级数的首要问题就是判别其的敛散性问题。在当今这样一个科技大融合的时代，级数理论早已渗透到其他科技的很多领域，不但是数学中的重要研究方向，也成为其他学科有力的理论支撑。判别数项级数的敛散性，是研究级数问题的重中之重。

国内外研究现状

从18世纪以来，级数的一个重要的作用就是帮助研究微积分。随着研究的深入，除了用于微积分之外，级数的应用也逐渐开始应用于计算一些特殊的量，如e以及对数函数和三角函数值。级数也是进一步研究函数的有力工具：一方面能借助级数表示许多常用的非初等函数，微分方程的解就常用级数表示；另一方面又可将函数表为级数，从而借助级数去研究函数，例如用幂级数研究非初等函，以及进行近似计算等。随着研究领域的逐渐扩展，数学家们运用级数所取得的成功变得越来越多。

2. 研究的基本内容

本文将写出判别正项级数敛散性的若干种方法，及其中几种方法的延伸，最后列出级数的若干应用。

首先，探讨正项级数敛散性的含义及其几种常用的判别方法，常用的方法有比较判别法、达朗贝尔判别法、积分判别法等，然后初步探讨数项级数敛散性判别方法的选取，即该如何选择一种恰当的判别方法来判别一个数项级数的敛散性。

其次讨论了拉贝等判别法的进一步延伸，最后列出级数的应用。

3. 实施方案、进度安排及预期效果

实施方案及预期效果：正确理解正项级数敛散性的含义及其常用的几种判别方法，然后从级数理论的基础知识入手，收集相关资料，运用归纳总结的方法，探讨正项级数敛散性各种判别方法及适当的延伸，最后查阅资料列举级数的应用性。进度安排：

1、选题及任务书填写：2016年12月20日前

2、开题报告填写：2017年4月8日-2017年4月10日

4. 参考文献

[1]华东师范大学数学系．数学分析下册(3版)[m]．北京：高等教育出版社．

[2]裴礼文．数学分析中的典型问题与方法[m]．第二版．高等教育出版社．

[3]费定晖，周学圣．吉米多维奇数学分析习题集题解[m]．第三版．山东科学技术出版社．