论文总字数：14804字

摘 要

资源既定的情况下，如何最优质的分配社会资源，如何使得经济效益最大化正是经济学研究的本质。这就必然涉及到对于经济学实例中的各类问题建立相应的数学模型，因此数学建模在其中有了很大的应用空间。经济学领域中有很多数学模型的应用，这些模型常常是由微分方程构成的，解决这些微分方程常常有助于数学与经济学实现双向发展。这篇论文主要研究了经济学中的模型以及用微分方程的数值解的方法来求解经济学研究中的模型。

第一章给出研究的目的及其意义，介绍了实现数值解的研究方法。

第二章介绍了常微分方程数值解中的一般方法，包括欧拉法、龙格库塔法等方法以及其在MATLAB中的应用，给出了需要的基本预备知识。

第三章介绍了经济系统中存在的几种微分方程以及他们的推导过程。

第四章研究了经济学模型中的微分方程以及用微分方程数值解求解的实际应用。

关键词：微分方程数值解 经济学 龙格库塔法

The application of numerical solutions of differential equations in economics

Abstract

Under the condition of fixed resources, how to allocate social resources with the best quality and how to maximize economic benefits are the essence of economics research. Among them, it is necessary to establish corresponding mathematical models for all kinds of problems in economic examples, so mathematical modeling can come in handy. There are many applications of mathematical models in the field of economics. These models are often composed of differential square products. Solving these differential equations is often helpful for the two-way development of teaching and economics. This paper mainly studies the models in economics and the application of numerical solutions of differential equations in economics.

The first chapter gives the purpose and significance of the research, and introduces the research methods of solving.

The second chapter introduces the general methods of ordinary differential numerical solution, including Euler method, Runge-Kutta method and its application in MATLAB, and gives the basic knowledge needed.

The third chapter introduces several kinds of differential equations and their derivtion in economic system.

The fourth chapter, we study the practical application of the numerical solution of the differential equation in the economic model.

目 录

摘要…………………………………………………………………………………I

ABSTRACT………………………………………………………………………II

第一章 绪论………………………………………………………………………1

1.1 研究的目的及意义…………………………………………………………2

1.2 国内外研究背景……………………………………………………………2

1.2 研究方法……………………………………………………………………7

第二章 常微分方程数值解的一般方法……………………………………9

2.1 常微分方程数值解的发展 …………………………………………………9

2.2 欧拉法 ………………………………………………………………………9

2.3 后退欧拉法…………………………………………………………………14

2.4 龙格库塔法…………………………………………………………………17

第三章 经济系统中的微分方程模型 ………………………………………9

3.1 引言…………………………………………………………………………17

3.2 几个常见的微分方程模型…………………………………………………17

3.2.1 Logistic模型………………………………………………………17

3.2.2 考虑库存的价格调整模型…………………………………………17

3.2.3 混沌金融系统模型…………………………………………………17

第四章 实例分析…………………………………………………………………9

4.1 生产-加工型微分方程模型…………………………………………………9

4.2 渔业生态经济模型 …………………………………………………………9

结语………………………………………………………………………………104

参考文献 …………………………………………………………………………21

致谢 ………………………………………………………………………………22

第一章 绪论

1.1 研究的目的及意义

由于数学的理论研究不断地细致完备、大数据经济的进一步发展，数学在经济研究中也有越来越广阔的应用。现代研究经济学更是少不了直观的数学理论工具，将实例建模再求解来对经济学做分析，可以严谨、精确和直观的预测经济走势，以便管理者做出更有效率的决策^[1]。

经济是能够衡量国家综合实力，由于大数据的发展，世界各国的经济渐渐开始出现多样化的发展趋势。由于经济学与数学均遵循着质与量的变化关系，数学模型可以反映表现出量变与质变之间内在的联系；而经济学研究的恰好是经济状况从量变到质变的过程，两者的辩证统一为数学在经济学中的广泛运用打下了基础^[2]。经济研究是用已知的信息作出符合经济形势变化的决策，从而使项目、企业上至国家取得到最大的经济收益或者规避风险。从诺贝尔经济学奖的设立之后，经济研究的各个方面少不了数学的广泛应用。经济学上的各类问题必须要通过建立数学模型的方法来解决，经济研究已经离不开数学这个精确的工具，根据不同的经济实例进行数学建模，作出函数来表现经济关系，只要解决相应的数学问题，就能够预测并且控制经济状况^[3,4,5]。产业结构的调整和优化，需要数学模型的拟合、预测，因此运用数学方法和技巧来处理经济发展中的问题成为最常用的手段。在经济管理的过程中，往往会碰到变化率、弹性等较为复杂的经济分析问题，难以直接建立函数，这就要用到常微分方程来建立模型。

微分方程有很多的解法，但是我们已知的方法只适用于求线性微分方程的解析解，而经济学的实际问题中又存在有一些不能直接求解的非线性微分方程，因此，我们可以在定义域内用一系列近似值来代替而微分方程的数值解正是完成了该目的^[6]。运用欧拉法，龙格库塔法等方法，借助MATLAB可以实现对这类不能直接求解的微分方程进行数值解的求解。求出这类经济问题的解相当于把经济的情况直观的呈现给了决策者。如此，对于复杂的经济问题可以得到它的最优应对策略，经济问题就迎刃而解了。

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