一、选题背景及相关概念 辛映射作为哈密顿系统的离散形式，继承了哈密顿系统的一些性质，比如具有类似的结构。

但是辛映射没有固定的规范型，因而在处理小分母问题时，会有很多困难。

因此为了解决辛映射的小分母问题，我们必须深入理解背景与相关概念。

哈密顿系统 是指具有如下形式的含有2n个方程的一阶常微分方程组 ，，i=1,2#8230;n, （1.1） 其中，是上的光滑实函数通常称为哈密顿函数，向量，是一对共轭变量，在经典力学中，常常用它们表示位置矢量和动量，t表示时间。

为方便讨论，引进2n维列向量z和反称矩阵J以及梯度▽H， ， 其中I是单位阵，此时（1.1）课表示为 而辛映射本身就是作为哈密顿系统的离散形式，是哈密顿系统的一种具体的表现，是对应于辛向量空间的一种映射，为了便于理解，引入了辛矩阵的概念，若的矩阵P为辛矩阵，那么其满足,，我们称P是以为乘子的辛矩阵。

而辛映射则有如下定义。

辛映射：为中的一开区域， 是上一个光滑的映射，如果是关于z的jacobi矩阵 ，则称 是一个辛映射或者辛变换，也就是说若为辛映射当且仅当 ，因为两个辛矩阵的乘积还是辛的，所以根据复合函数求导法则，两个辛映射的复合同样也是辛的，有隐函数定量可知辛映射是可逆的，所以其逆映射也是辛的，由于辛矩阵的行列式为1，所以辛映射是保持定向和保面积的，而辛映射的一个重要性质是一个哈密顿系统通过辛映射的变换仍然保持哈密顿系统。

在叙述经典KAM理论前，还有必要要了解可积系统，这与哈密顿系统紧密相关。

可积系统：对于完全解2n个方程的常微分方程组，一般需知2n个首次积分，但对于哈密顿系统来说，只需知道n个首次积分就可以了，具体来说在辛空间 上有n工人两两对应的函数，i，j=1,2，#8230;n，线性无关，其中，那么哈密顿系统是可积的，此时通过一个辛变换（辛映射） ，可将哈密顿系统化为特别简单形式 ,其中H=H(I)，从而可解得： I(t)=I(0),。

若对是紧密联通的，则可选为一对作用变量和角变量，此时哈密顿系统的解落在一个n维环面上，是哈密顿系统特有的一对辛坐标，叫做作用角坐标，而I= 是作用变量，是角变量，作用变量和角变量将给我们讨论哈密顿系统带来极大的方便，哈密顿系统实质性的东西也由此更加直观。