微积分已有三百多年的历史，经过若干个世纪的数学家的精雕细琢，已经形成了一个完整、精密的庞大知识库。而数学分析作为我国大学数学系的一门课程，通常包含一元和多元微分学和积分学，以及一系列与之相关的内容。纵观学习数学分析的过程中，一致收敛性无疑是重要却又难懂的概念，是研究函数列、函数项级数、含参变量反常积分有关性质的重要工具，在理论研究和某些应用领域都具有不可忽视的价值。

一致收敛问题由于重要性，在教材中占不少篇幅，不同层次的讨论在理论期刊和教学期刊上都有出现。各研究者角度不同，观点丰富，既有判别法上的推广，又有利用性质进行的反推；既有概念间的区别对比，又有概念间共性的寻找和统一。

鉴于这些，本课题试图从函数列、函数项级数、含参变量反常积分三类的一致收敛性的定义出发，总结规律，提出自己的见解,来研究一致收敛性的一系列定理、相关性质及应用。特别地，由于一致收敛性是函数列、函数项级数、含参变量反常积分具有相关性质的充分条件，课题亦包括对相关充要条件的拓展研究。

教材和教学资料中提到的基本方法，主要包括函数列、函数项级数、含参变量反常积分一致收敛性的定义；利用Cauchy、Weierstrass、Abel、Dirichlet、Dini判别法的判定；以及一致收敛条件下的连续、求积分、求导性质。

近几十年来在一致收敛问题上出现了许多新的成果。

首先是在讨论数列、函数项级数、含参变量反常积分一致收敛性相关性质时，注意到一致收敛是充分条件之一，为了在更广泛的情形下利用这些便捷的性质，研究人员开始探寻一致收敛的弱化条件和相关性质的充要条件。

其中，汪文珑推广了一致收敛的概念，在处理函数项级数和含参量积分时引入次一致收敛的概念，应用于函数项级数、含参量反常积分连续性和可微性的讨论中，发现并证明了包含次一致收敛概念的若干充要条件和充分条件，推广了相应结论。此外，莫艳等人针对函数项级数和函数的连续性问题，相对于一致收敛性这一比较严格的充分条件，探索了保证连续性的弱化条件。尤其是进一步总结了次一致收敛、亚一致收敛、局部一致收敛、广义一致收敛几个相关引申概念，论证了保证函数项级数和函数连续的若干个充要条件。

其次主要是在教学过程中，关于一致收敛这一概念本身的理解，研究人员提供了许多新颖形象的角度。

其中，董超以函数列收敛与一致收敛的差异为重点，从多角度将两种收敛进行对比，指出收敛与一致收敛存在着数量差异、几何形象差异、思想方法差异以及解题步骤的明显区别，力图透彻理解定义而不是证明时生搬硬套。同样涉及作图分析的黄慧等人，借助了两个具体的含参量无穷限反常积分的一致收敛性问题，通过对一致收敛性的几何直观特征的分析，认为含参量无穷限反常积分的一致收敛，直观表现为反常积分关于参变量的同步收敛情况。

除此之外，有研究人员试图将相关概念有机地统一到一个形式中去。杨翠指出，一致收敛性作为数学分析中的非常重要的性质，在函数列、函数项级数、含参量反常积分等章节中出现较分散。同时又发现可以将上述情况统一到二元函数或者离散的二元函数的情形中，通过二元函数极限的一致收敛性进行统一，从这一角度来理解认识一致收敛性的概念和相关性质。这是将三个讨论对象统一到二元函数极限这一问题中。