随着科技进步和现代工业化的发展，物理、化学、生物、工程、航空航天、医学、经济和金融领域中的许多原理和规律都可以描述成适当的数学物理方程，因此数学物理方程的理论和方法不仅可以广泛应用于自然科学，而且越来越多的应用于社会科学的各个领域。例如，人口模型对应的数学模型就是一个偏微分方程。从数学专业的角度出发，我们能够清晰地了解到，数学物理方程的应用触角几乎已经深入到了自然学科的各个领域。而拉普拉斯方程作为数学物理方程的重要一个类型，也得到了更多的发展和应用，柱函数和球函数就是分别在圆柱坐标系和球坐标系下求解拉普拉斯方程得到的函数。

柱函数是数学物理方法中的一个重要内容，它是拉普拉斯方程在圆柱坐标系下求解得到的，包括贝赛尔函数、诺伊曼函数和汉克尔函数。贝塞尔函数是数学上的这一类特殊函数的总称，贝塞尔函数的几个正整数阶特例早在18世纪中叶就由瑞士数学家丹尼尔.伯努利在研究悬链振动时得到了，当时引起了数学界的兴趣。丹尼尔的叔叔雅各布.伯努利，以及欧拉、拉格朗日等数学大师对贝塞尔函数的研究做出了重要贡献。1817年，德国数学家贝塞尔在研究开普勒提出的三体引力系统的运动问题时，第一次系统地提出了贝塞尔函数的总体理论框架，后人以他的名字命名了这种函数。贝塞尔方程是在柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和亥姆霍兹方程时得到的，由此可知，Bessel 函数在双曲型偏微分方程混合问题、椭圆型偏微分方程边值问题和抛物型偏微分方程混合问题的求解过程中起着非常重要的作用。因此贝塞尔函数在波动问题以及各种涉及有场势的问题中占有非常重要的地位。在其他一些领域，贝塞尔函数也相当有用。比如在信号处理中的调频合成或凯泽窗以及波动声学中都要用到贝塞尔函数。

球函数是拉普拉斯方程的球坐标系形式解的角度部分，进一步分离变量可以得到连带Legendre方程，根据所作变换的不同又可分为球Bessel 函数和球Neumann函数。这是是近代数学的一个著名函数，在量子力学，计算机图形学，渲染光照处理以及球面映射等方面广泛应用。球Bessel 函数在数学、物理等领域中具有广泛的应用，例如，数学中 Bessel 方程解的表达式用相应的 Bessel 函数表示，在圆柱形波导中的电磁波传播问题研究需要球 Bessel 函数。

2. 研究的基本内容与方案

(1)柱函数及球函数的定义及分类；

根据柱函数和球函数的定义，分别讨论采用不同变换方法下的柱函数和球函数的分类情况及各种分类下的性质与适用情况。

(2)柱函数及球函数在抛物形偏微分方程求解中的应用；

抛物型偏微分方程是偏微分方程的一种重要类型，当它对应的物理模型是物体的热传导，则被称为热传导方程，如果它对应的物理模型是液体或气体或半导体材料中杂质的扩散时，则被称为反应扩散方程。可以利用 Bessel 函数求解柱形区域上轴对称的抛物型偏微分方程的混合问题，球形区域上的球对称抛物型方程的混合问题。

(3)柱函数及球函数在求解变系数微分方程中的应用；

对于变系数微分方程来说，除了几种特殊类型的方程以外，关于其解法的讨论尚不多见。 现在，在变系数微分方程的研究中，虽然已经出现了许多引人注目的专题，但对于方程的解法的探讨，仍是十分重要的课题。可以利用未知函数的线性变换转化虚宗量的贝塞尔方程来求解，其通解用虚宗量的贝塞尔函数表达式表示出来。

(4)柱函数及球函数在计算一些特殊类积分时的应用；