1. 研究目的与意义（文献综述）

目的及意义：

积分方程是未知函数出现在积分号内的方程，与微分方程对应，很多数学物理问题都需要转换成积分方程或微分方程进行求解。数学、工程技术和自然科学的许多领域，例如在系统识别、流体力学和弹性力学、信号重构与图像恢复、电磁场理论与静电学、地球物理勘探等方面都将归结为求解积分方程的问题，正是因为积分方程的这种特点，积分方程得到了快速发展，并成为了众多学者研究积分方程的一个重要方向。 关于积分方程理论的发展，始终和数学物理问题的研究有着紧密的联系，它在物理、经济、工程等方面有着广泛的应用。通常认为，最早应用积分方程理论的是阿贝尔(abel)，他在 1823 年研究力学问题时提出了阿贝尔方程。在此之前，拉普拉斯（laplace）于 1782年在数学物理问题中研究拉普拉斯变换的逆变换与傅里叶（fourier）在 1811 年研究傅里叶变换反演问题上都要求解第一类积分方程。

积分方程是近代数学研究中的一个重要分支，如计算数学、微分方程、位势理论、随机分析和泛函分析等都与积分方程有着紧密的联系。关于积分方程的建立，是在十九世纪末由 fredholm 和 volterra 建立了两种类型的积分方程理论，之后，随着泛函分析理论的完善和成熟，人们对于积分方程的研究置于抽象空间的框架下，使积分方程的理论更加成熟、应用更加广泛，为积分方程的研究奠定了基础。

2. 研究的基本内容与方案

积分方程的求解是数学研究领域内的一个重要分支，目前广泛应用于各类工程领域中，并且在很多实际应用中，应用各种离散方法将积分方程化一个规模较大的线性方程组ax=b 进行求解。针对积分方程的特点，分别以第二类 fredholm 积分方程、volterra 积分方程、线性和非线性 fredholm-volterra 积分方程以及积分微分方程为具体数学模型，对其数值解进行细致的研究。主要内容包括以下几个部分有：

(1)应用复合梯形公式、复合辛普森公式、高斯-勒让德、克伦肖-柯蒂斯积分公式、高斯-罗巴托积分公式对第二类 fredholm 积分方程进行离散，给出具体离散过程，并数值模拟分析其准确性。

(2)将fredholm-volterra 积分方程问题通过 galerkin 方法转化为线性方程组的求解，结合契贝晓夫多项式作为基函数给出了具体的求解过程，并进行数值模拟，最后给出了真解与数值解的比较。

3. 研究计划与安排

1-3周：

查找国内外研究积分方程数值解的文献，了解其研究现状，完成开题报告。
4-6周：

(1)阅读相关教材和文献，了解相应的数值方法。

4. 参考文献（12篇以上）

[1]郭大钧. 非线性积分方程[m]. 山东科学技术出版社, 1987.

[2]陈传璋. 积分方程论及其应用[m]. 上海科学技术出版社, 1987.

[3]王银坤. 高振荡积分方程及其数值解法[d]. 国防科学技术大学, 2016.