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1. 研究目的与意义及国内外研究现状

棋盘覆盖问题是组合数学中的一个经典问题，随着组合数学学科的迅猛发展，越来越多的学者关注和研究棋盘覆盖问题。在组合数学中棋盘问题作为其中的一个重要分支，它既是古老的，又是年轻的。因为棋盘问题对于提高学生的学习兴趣，培养他们的想象力，以及激发学生的创造才智有很好的帮助，有的中学教材中也有很多以棋盘为背景的题目，比如在新课程标准教材一年级下册中有《平面图形的拼组》问题，在华东师范大学出版社出版的教学七年级下册中有《图形的镶嵌》问题等。

国内外研究现状

棋盘覆盖问题是一个比较经典的问题，在十八世纪的时候，德国象棋界的大师马克思对关于8个女皇的棋盘覆盖问题提出了第一套解决方案，来自德国的数学家高斯先生用自己的研究把8个女皇的棋盘问题推广到了n个女皇的棋盘覆盖问题。后来，来自美国的哲学家马克思又提出了针对两个残缺格的国际象棋棋盘的骨牌覆盖方法的难题，第二次棋盘覆盖的研究陷入了热潮,在1973年的时候，美国数学家comory解决了这一个难题，到了20世纪80年代，以四格骨牌为基础的俄罗斯方块的游戏产生，今天在数学领域^[1-4]和计算机领域的文 件加密^[5]、图像加密^[6-7]等技术中用到了相类似的算法。

对于中外棋盘的覆盖问题，冯跃峰^[8]在数学上关于此问题做了比较系统的总结和阐述，给出了棋盘的定义：所谓mn棋盘是指m行n列方格构成的矩形，简称为棋盘，每个方格称为棋盘的格，在一个mn个方格组成的棋盘中，如果有一个棋盘格和其他格不同，比如被填上了代表棋子的字母、数字、或者颜色，则称该方格为特殊棋盘格。而残缺棋盘指的是：在一个mn的棋盘中，其中有一个或者一个以上棋盘格缺失，就叫做残缺棋盘。所谓覆盖指的是：用线型骨牌或者l型骨牌来覆盖棋盘，其中任何两个骨牌不能重叠覆盖，如果用线型骨牌可以将一个mn棋盘完全覆盖且任意两个骨牌不重叠，则叫做线型骨牌在mn棋盘中的完全覆盖；如果用l型骨牌可以将一个mn棋盘完全覆盖且任意两个骨牌不重叠，则叫做l型骨牌在mn棋盘中的完全覆盖。

2. 研究的基本内容

本文计划研究若干线型骨牌和l型骨牌在一般mn棋盘中的覆盖问题。另外，残缺棋盘的覆盖问题一直是一个难题，本文同时计划研究简单参数下的残缺棋盘的覆盖，以期得出相关覆盖问题的充要条件。

具体的，在mn棋盘上计划研究以下完全覆盖：

1) 21线型骨牌；

3. 实施方案、进度安排及预期效果

一．实施方案

1. 对棋盘问题，拟采用棋盘网格标号法， 研究其覆盖情况。对于可行覆盖，给出具体覆盖方案，而不可行覆盖，进行分支，减枝优化，降低棋盘规模，以得到矛盾，证明不可覆盖。

2. 在解决残缺棋盘覆盖问题时拟采用分治法，将一个大问题分解为有限个小规模的问题 (小问题之间互相独立，且它们的问题性质和原始问题的性质相同、独立)，利用递归方法，得出相应结论。

4. 参考文献

[1] 沈晓斌. 1 4格牌覆盖棋盘的计数[j]. 泉州师专学报 (自然科学 ), 2000, 2(18): 5-6.

[2] 吕兰兰.分治算法求解棋盘覆盖问题的互动教学过程[j]. computer knowledge and technology 电脑知识与技术, 2016, 12(35): 146-148.

[3] 陈景林. 关于棋盘 k -l 形覆盖一个猜想的研究[j]. 河北师范大学学报 (自然科学版), 2002, 26(1): 19-20.