全文总字数：5659字

1. 研究目的与意义及国内外研究现状

非线性发展方程[1]遍及物理学、医学、生物学、工程学、天文学等诸多科学领域，它将复杂现象转化为数学语言，因而有着十分重要的研究意义，而非线性发展方程的精确解，在描述某些复杂物理现象、解决一些物理难题中扮演着不可或缺的角色．因此，非线性发展方程愈来愈受到人们的关注，特别地，非线性发展方程的求解问题成为中外学者们关注的焦点之一．分数阶微积分理论作为数学理论研究的重要的分支之一，重点研究任意分数阶的微分和积分理论及其在现实生活模型中的应用，由于其能准确描述经济学、生物学、物理学、工程学，甚至一些交叉学科的复杂非线性现象，因而成为了研究非线性发展方程的重要工具之一．

kdv方程和burgers方程就是两类非常重要的非线性发展方程，关于它们的研究的不断深入极大地促进了非线性发展方程的相关研究．其中，作为一类经典的浅水波方程，kdv方程源自关于水波的研究，它可以用于许多浅水波运动的描述，因此被广泛应用于流体力学领域．而对于mkdv方程(modified korteweg-de vries equation)，有学者发现它不仅可以用来描述土星的光环，还能作为宇宙环境中类似超新星外壳的尘埃粒子的传输波的模型方程，所以具有很大的研究价值．经典的kdv方程以及mkdv方程是学者们研究得比较多的两类方程．在本文中，我们将研究一类兼具理论意义和应用价值的重要非线性发展方程——时间–分数阶广义mkdv方程：

2. 研究的基本内容

在广泛阅读相关文献的基础上，本课题将主要研究具有Riemann-Liouville导数的时间-分数阶广义mKdV方程的不变性．基于分数阶微分方程的Lie群分析法，推导出方程的三阶延拓表达式，通过求解超定偏微分方程组，得到保持广义mKdV方程不变的点变换，进而推导出方程的对称性．在此基础上，将对方程进行相似约化，将其约化为分数阶常微分方程，这将为原方程的求解带来便利．最后，借助于非线性自伴方法、Euler-Lagrange算子和Noether算子的分数推广，得到广义mKdV方程的守恒定律，推导出其守恒向量的表达式．

3. 实施方案、进度安排及预期效果

（一）实施方案

1确定研究对象

通过查阅文献、明确研究现状、判断研究意义及价值，最终确定本文的研究对象为广义mkdv方程：

4. 参考文献

[2] 涂建敏. 若干非线性微分方程的对称与守恒律及解析解的研究[d]. 徐州: 中国矿业大学, 2017.

[3] 张琪. 若干非线性偏微分方程(组)的对称、守恒律及解析解[d]. 内蒙古: 内蒙古工业大学, 2018.

[4] 房春梅, 樊彩虹. boussinesq-burgers方程的相似约化[j]. 湖北民族学院学报(自然科学 版), 2014, 21(2): 148-149,155.