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1. 研究目的与意义及国内外研究现状

本课题拟研究一类二阶线性常微分方程初值问题的格林函数法求解问题。首先我们研究一般形式的二阶线性常微分方程初值问题的格林函数及其积分形式解，然后利用前面的结果研究原问题初值问题的格林函数及其积分形式解。其次，假定非齐次项形式已知且含有两个参数，利用回归分析根据给定的初值问题的一系列解，利用回归分析研究参数的反演问题。

二阶线性常微分方程的求解在本科教材中有着较详细的分析，但是格林函数法通常都没有介绍。通过本课题的研究，可以掌握二阶线性常微分方程初值问题的格林函数法；了解参数反演的基本思想。

国内外研究现状

格林函数法有着重要的物理意义，在求解常微分方程的初值问题与边值问题，偏微分方程等方面都有着重要的作用。文献[1]介绍了常微分方程初值问题及边值问题的格林函数法。文献[7]建立了微分方程与格林函数的联系。文献[4]利用格林函数法分析了二阶线性常微分方程的边值问题的求解，并利用了常数变易法证明了二阶常微分方程边值问题的格林函数。文献[5]用格林函数法证明了二阶常微分方程边值问题解的唯一性。参数反演广泛地出现在地球物理、生物、医疗及建筑等领域，国外就很早的对其理论和方法进行研究，我们国家的研究工作者也在参数反演问题上进行了大量的探索。文献[3]讲述了回归分析中进行参数估计的方法。

2. 研究的基本内容

1. 讨论一般形式的二阶常微分方程初值问题的格林函数法求解；
2. 研究一类特殊结构的二阶线性常微分方程初值问题的格林函数法，得到格林函数，求得初值问题的积分形式解。
3. 假定非齐次项形式已知且含有两个参数，利用回归分析根据给定的初值问题的一系列解，研究参数的反演问题，并将反演得到的参数值与真实值进行比较。

3. 实施方案、进度安排及预期效果

2018.01查阅相关文献，掌握格林函数法与回归分析参数估计方法。

2018.02—2018.04解决课题中的问题，完成初稿。

2018.04—2018.05修改论文，完成终稿，准备毕业论文答辩。

预期效果：用格林函数法给出二阶常微分方程的初值问题的积分形式解，利用回归分析法实现参数反演。

4. 参考文献

1. 吴崇试， 《数学物理方法》，北京大学出版社，2003.
2. 黄启昌，常微分方程，高等教育出版社，第二版，2005.
3. 魏宗舒，概率论与数理统计，高等教育出版社，第二版，1983.
4. 陆静，用格林函数法求解二阶微分方程边值问题，太原师范学院学报(自然科学版)，10(4):32-36, 2011.
5. 刘丽环，常 晶 高艳超，二阶常微分方程边值问题的格林函数求法，长春工业大学学报(自然科学版), 32(1):102-104, 2011.
6. 熊帮云，曹 辉，δ函数的定义及其常用性质，产业与科技论坛，15(13):37-38, 2016.
7. Mrio N. Berberan-Santos. Green’s function method and the first-order linear differential equation. J Math Chem, 48:175–178, 2010.
8. Tognetti K．The two stage stochastic model[J]．Math．Biosci，1975，25：195—204.
9. Zhang G B，Li W T,Lin G.Traveling waves in delayed predator-prey systems with nonlocal diffusion and stage structure[J].Mathematical and Computer Modelling,2009,49:1 021-1029.
10. D.A. McQuarrie, Mathematical Methods for Scientists and Engineers. (University Science Books, Sausalito, 2003), pp. 524–526.