1. 研究目的与意义及国内外研究现状

非线性schrdinger（nls）方程是数学物理学中最重要的方程方程之一，它在许多不同的领域都有应用[1–4]，如等离子体物理，非线性光学，水波，和分子动力学。已有大量文献对nls方程的初边值问题进行了讨论，也有一些文献讨论了nls方程的某些质量与能量守恒的格式[17–20]，但极少有文献研究其最优误差估计。因此，本文对nls方程的标准crank-nicolson有限差分格式进行讨论，给出质量、能量守恒分析并研究其最优误差估计。

由于schrdinger方程仅仅是量子力学的一个基本假设，而不是由推理得来的，因此我们只能通过数值模拟来验证该方程。另外，最优误差估计的稀少，也使得本论文中的研究较为重要。

国内外研究现状

已有大量文献利用偏微分方程的数值解法对nls方程的初边值问题进行了数值研究。其中的用到的方法包括有限差分法[5-13]、有限元方法[14-16]、有限体积法等。有限差分方法是计算机数值模拟最早采用的方法，至今仍被广泛运用。该方法通过划分网格区域、建立差分格式、计算差分格式的截断误差以及分析差分格式的收敛性和稳定性来解决偏微分方程的初值问题。这是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法。构造差分的方法有多种形式，目前主要采用的是泰勒级数展开方法。差分格式有两层格式和三层格式；根据精度划分，差分格式还可分为一阶格式、二阶格式和高阶格式。1992年，w.dai研究了一种无条件稳定的三层显式差分格式；1999年，q.chang等人研究了广义非线性schrdinger方程的差分格式；2005年，张鲁明研究了非线性schrdinger方程的高精度守恒差分格式；2009年，谢树森等人研究了一维非线性schrdinger方程的高精度紧致差分格式；2014年，曾坤研究了非线性schrdinger方程的一类不变差分格式。本文研究的是非线性schrdinger方程的标准crank-nicolson格式。

2. 研究的基本内容

本论文致力于研究非线性Schrdinger方程的标准Crank-Nicolson格式。通过阅读大量文献资料，运用能量方法并定义一个新型能量泛函证明格式的离散守恒律，分析该格式的局部截断误差，并引入追赶法对差分方程进行数值求解和数值模拟碰撞等物理现象。

3. 实施方案、进度安排及预期效果

1.实行方案：

构造一个非线性schrdinger方程的标准crank-nicolson格式，证明该格式在离散意义下的守恒律，求出截断误差并在此基础上对其差分解的收敛性进行分析，并举出数值算例进行模拟，验证误差精度及质量能量守恒。

2.进度：

4. 参考文献

[1] a.s. davydov, solitons in molecular systems, reidel, dordrecht, 1985.

[2] r.k. dodd, j.c. eilbeck, j.d. gibbon, h.c. morris, solitons and nonlinear wave equations, academic press, new york, 1982.

[3] c. sulem, p.l. sulem, the nonlinear schrdinger equation self-focusing and wave collapse, springer, new york, 1999.