摘 要

Gross-Pitaevskii（GP）方程是一种用于描述玻色-爱因斯坦凝聚（BEC）的基本数学模型，关于GP方程的研究对理解BEC的动力学性质及演化具有十分重要的作用. 大部分GP方程无法求出精确的解析解，只能通过数值方法近似. 而传统的数值计算方法存在着计算复杂、计算难度大等问题，因此如何高效、快速、精确地实现GP方程的求解具有很高的理论和实际应用价值.

本文在已有的求解非线性对流扩散方程的格子Bhatnagar-Gross-Krook（LBGK）模型上进行改进，采用分离复方程实部和虚部的方法将LBGK模型从实数域内拓展到了复数域内，建立起复数域内的演化方程组. 然后将二维的GP方程看成一类特殊的非线性对流扩散方程，应用LBGK模型进行了数值模拟，实验所得的结果充分证明格子Boltzmann方法（LBM）用于模拟GP方程的孤波解是一个行之有效的方法.

用LBM求解非线性偏微分方程是一种新的数值计算方法，与经典的各种数值方法相比较具有十分明显的优势：首先从物理角度来看，它的演化过程非常清晰；其次从计算角度来看，LBM计算简单、易于编程，而且计算是局部的，具有良好的并行性和可扩展性，尤其是在大范围的流动问题的计算上很有优势. 本文所研究的方法还可以应用于非线性薛定谔方程、Ginzburg-Landau方程等其他方程的求解.

关键词：Gross-Pitaevskii方程；玻色-爱因斯坦凝聚；非线性对流扩散方程；格子Boltzmann方法；LBGK模型

Abstract

Gross - Pitaevskii (GP) equation is a basic mathematical model, which is usually used to describe the Bose - Einstein condensation. The researchs about GP equation play an important role in understanding the dynamic evolution of the Bose - Einstein condensation. The accurate analytical solution of most GP equations can't be calculated, only through a numerical approximation method. The traditional numerical methods have many shortcomings such as complicated calculation, hard to be calculated and so on. So how to efficiently and accurately solve the GP equation has very high theoretical and practical application values.

Based on the existing lattice Bhatnagar-Gross-Krook (LBGK) model for the nonlinear convection diffusion equation, we expand the LBGK model from the real field to the complex field using the method of separation of the equation’s real part and imaginary part and build up the plural evolution equations in the domain. Then the two-dimensions GP equation which is regarded as a special kind of nonlinear convection diffusion equation, is numerically simulated with the LBGK model. The experimental results show that the lattice boltzmann method is an effective method to simulate the solitary wave solution of the GP equation.

Using the lattice Boltzmann method to solve the nonlinear partial differential equation is a new numerical calculation method. When compared with the classical numerical methods it has very obvious advantages. First, from a physical point of view, its evolution process is very clear. Second, from a computational point of view, the lattice Boltzmann method is easy to be calculated and programed. And the calculation is local, with good parallelism and scalability. It is of great advantage especially on the calculation of a wide range of flow. The research method in this paper can also be applied to the nonlinear schrodinger equation, Ginzburg-Landau equation and so on.

Keywords: Gross - Pitaevskii equation; Bose - Einstein condensation; nonlinear convection diffusion equation; the lattice Boltzmann method; LBGK model

目录

摘要 I

Abstract II

第一章 绪论 1

1. 1 课题研究背景及意义 1

1. 2 格子Boltzmann方法的研究现状 1

1. 3 格子Boltzmann方法的基本结构 2

1. 4 本文组织结构 3

第二章 Gross-Pitaevskii方程的理论基础 5

2.1 Gross-Pitaevskii方程的背景 5

2. 2 Gross-Pitaevskii方程的推导 6

2. 3 Gross-Pitaevskii方程的研究现状 7

第三章 求解非线性对流扩散方程的LBGK模型 9

3. 1 对流扩散方程 9

3. 2 LBGK模型 9

3. 3 宏观方程的推导 11

3. 4 边界处理 13

第四章 Gross-Pitaevskii方程的LBGK模型 17

4. 1 恢复Gross-Pitaevskii方程的宏观方程 17

4. 2 复数域内的非线性对流扩散方程 18

4. 3 数值实验 18

第五章 小结 23

参考文献 25

致谢 27

第一章 绪论

1 课题研究背景及意义

在现代数学范畴内，非线性偏微分方程是一个非常重要的分支，不管是在理论研究方面还是在实际的应用当中都有着非常广泛的应用. 例如我们所熟悉的湍流、涡旋等现象都可以通过非线性偏微分方程来进行描述和求解；在实际工程技术中所接触到的大多数数学模型，其本质也就是研究非线性偏微分方程；还有物理、化学等基础学科的基本方程本身就是一类非线性偏微分方程. 鉴于该类方程在描述问题的时候对空间、时间以及时滞的影响考虑充分，因此更能够准确反映实际的情况，正因如此，一直以来学者们都致力于研究非线性偏微分方程的求解以及解法问题.

但是很大一部分非线性偏微分方程是无法求出其解析解的，只能通过数值计算的方法来近似求得数值解. 而传统的数值计算方法存在着计算复杂、计算难度大等问题，例如有限体积法、有限差分法等等，寻找一种更优的数值计算方法来求解非线性偏微分方程具有十分重要的理论和实际研究意义.

1. 2 格子Boltzmann方法的研究现状

格子Boltzmann方法，简称LBM，是一种新的数值计算方法，一般运用在流体运动的模拟和复杂系统的建模上，最近几十年才在国际上发展起来并引起相关领域的学者广泛关注. 这种方法建立在流体的微观分子动力学模型和宏观连续模型之间，属于一种介观模型. 该方法中的思维模式和建模手段与传统的数值方法有很大的不同，它在流体运动描述和模拟这方面开创了一片新领域，同时也为流体力学的研究提供了全新的思路. LBM从提出之日起就受到了数学、力学、物理等多个学科范畴内的大量关注，目前已经不仅仅是纯粹的理论研究，已经向工程实际应用迈进，并形成了国际上的一个研究热点.

LBM起源于20世纪70年代提出并发展的格子气自动机（LGA），LGA具有计算稳定、物理清晰直观性等优点，另一方面也存在许多不足之处，比如含有统计噪声、不满足Galliano不变性、而且宏观方程在很大程度上与压力、速度相关，这些缺点使LGA方法的应用受到极大的限制^[1]. 为了消除这种噪声，1988年McNamara和Zanetti提出一种新的模型，他们改变分布函数的类型，将原本的布尔型换成实数型. 1989年，Higuera、Jimenez两人对McNamara和Zanetti的模型进行了进一步的改造，他们将平衡态分布函数引入到模型中，并首次提出线性化这一概念，大大提高了计算效率，称之为LBE发展历史上的一个里程碑^[2]. Higuera和Jimenez的模型提出不久后，同年，Higuera、Succinct和Benzi就构造了一种不需要依赖LGA模型的新模型，其中的碰撞算子是一种强化算子，是根据所要描述的宏观方程来确定的，碰撞矩阵演变为对称的循环矩阵，其中的元素只与离散速度的夹角有关^[3]. 1991~1992年，陈十一课题组、钱跃竑课题组和Succi课题组分别独立提出一种更简单的单松弛模型. 该模型的碰撞项采用BGK型碰撞算子，也称之为标准的LBM . 在LBGK模型里面，碰撞过程和碰撞矩阵都有了很大的变化，分别由一个松弛过程和一个松弛时间来替换. LBGK模型大大简化了计算量，有效克服了LGA方法的不足之处，这是目前使用最广泛的模型，也使LBE的研究达到一个新的水平.

在实际应用方面，LBM最早被提出来的时候是为了求解流体问题，也就是用来恢复Navier-Stokes方程的宏观方程. 经过长时间的研究和发展，发现只要选择合适的离散速度和平衡态分布函数，通过对分布函数的演化方程进行求解，然后获得一些相应的宏观量，就可以恢复出一些特殊方程的宏观方程. 目前，在非线性偏微分方程的求解问题上，LBM能够取得较好的效果. 早在1993年，对于常见的反应扩散方程，著名学者Dawson、Chen等人就提出了格子Boltzmann模型来进行求解. 1998年，吉林大学的闫广武通过构造一维5-bit的格子Boltzmann模型对Korteweg-de-Vries（KdV）方程的孤立波传播现象进行了模拟^[5]. 1999年，闫广武又构造了Burgers方程的LBM模型，尽管该模型与部分经典的结果非常相符，但还是存在“误差反弹”的问题^[6]. 为了解决这一问题，张建影等人通过引入一阶和二阶两个附加项构建了Burgers-Fisher的格子Boltzmann模型，得到的数值结果与精确解一致. 除此之外，闫广武等人以一种高阶矩的方式对格子Boltzmann模型进行改进，用于求解薛定谔方程、复Ginzburg-Landau方程等^[8]. 2004年，邓滨构建了格子BGK模型，用于研究对流扩散方程的数值解问题^[9]. 2009年，华中科技大学的施保昌、郭照立等人针对n维非线性的对流扩散方程，通过选取不同的源项在原有演化方程的基础上进行了改变；同时还提出了复方程的格子Boltzmann模型，即采用分离实部和虚部的方法来构建演化方程并进行模拟. 利用该方法已经研究了非线性薛定谔方程、耦合的 Klein-Gordon-Schrödinger 方程等，实验所得的数值结果与解析解具有很高的拟合度^[11]. 同年娄钦在已有模型的基础上研究了广义迁移格子Boltzmann模型在非线性对流扩散方程的模拟^[12]. 2011年，Q. J. Li等人在Klein-Gordon方程的研究上也利用了格子Boltzmann模型^[13]. A. Grucelski，J. Pozorski在2013年研究了多孔介质流的问题，并成功的将格子Boltzmann方法应用其中^[14]. 2014年彭碧涛分别针对一维、二维带源项对流扩散方程进行了格子Boltzmann方法模拟^[15].

LBM主要运用在偏微分方程的数值上，除此之外，对于多相流、多孔介质流、微尺度流动、晶体增长等也能进行有效的模拟. 因此常常被用于多种复杂现象的机理研究，并在微观相互作用明显的流体系统方面得到了成功的应用，本文不再赘述.

1. 3 格子Boltzmann方法的基本结构

格子Boltzmann方程模型由三个要素构成：粒子的离散速度集合、格子的结构以及演化方程. 它所描述的是具有离散速度集合的粒子其分布函数在固定格子上的运动过程^[4]：

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