摘 要

随着科技的不断发展以及计算机的不断普及，计算量的不断增大，传统的运算方式以及不足以解决当前的计算问题，例如在航天航空，航海以及核反应等方面。对于这些问题，通常都是通过建立数学模型来模拟实际的现象，比如航天的运行轨道，核能量扩散等，但也并不是所有的问题都可以建立可运算的模型，例如静电学问题、扩散问题、导体中电流分布问题等方面，在现有科技的基础下，并不能对这些问题建立对应的可运算模型，只能做出通过现象模拟实际问题的偏微分方程。使用偏微分方程来处理物理和工程中得一些实际问题，可以有效的促进社会科技的进一步发展。椭圆型方程是偏微分方程的类型之一。通常求解椭圆型方程的边值问题必须在特定的条件下能得到结果，因此必须采用特定的数值求解方法来解决这些问题。有限差分法是求解椭圆型偏微分方程的最常用手段，其中包括五点差分法，九点差分法以及极坐标差分法等。不同方法的求解精度存在不同。有限差分法的基本处理方式是使用差商的格式求解的值代替偏微分方程的值，差分通常会给出问题的边界条件，通过各个求解点的关系建立方程组，求解出问题求解区域内部的各个值。本文主要介绍了有限差分法的基本概念、对差分问题的求解步骤、有限差分格式的基本性质、常见的椭圆型偏微分方程的类型，着重描述了使用五点差分法是如何求解一个已知的椭圆型方程，包括对差分格式求解的误差、求解的精度进行分析。

关键词：偏微分方程；有限差分法；五点差分法；椭圆型方程

Abstract

With the continuous development of science and technology and the continuous popularization of computers, the amount of calculations continues to increase. Traditional computing methods are not enough to solve current computing problems, such as in aerospace, navigation, and nuclear reaction. For these problems, mathematical models are usually used to simulate actual phenomena, such as the orbit of aerospace, nuclear energy diffusion, etc., but not all problems can be modeled, such as electrostatic problems, diffusion problems. The current distribution problem in conductors, etc., based on the existing technology, can’t establish a corresponding operable model for these problems, only to make partial differential equations that simulate actual problems through phenomena. Using partial differential equations to deal with some practical problems in physics and engineering can effectively promote the further development of social science and technology. Elliptic equations are one type of partial differential equations. Generally, the boundary value problems of elliptic equations must be able to obtain results under certain conditions. Therefore, specific numerical solutions must be used to solve these problems. The finite difference method is the most commonly used method for solving elliptic partial differential equations, including five-point difference method, nine-point difference method and polar coordinate difference method. Different methods have different accuracy. The basic processing method of the finite difference method is to use the value of the difference quotient format to solve the value of the partial differential equation. The difference usually gives the boundary conditions of the problem. The equation system is established by the relationship of each solution point to solve the problem within the problem solving area. This article mainly introduces the basic concepts of the finite difference method, the steps to solve the difference problem, the basic properties of the finite difference scheme, the types of common elliptic partial differential equations, and focuses on how to use the five-point difference method to solve a known The elliptic equation includes analysis of the error and accuracy of the difference format.

keywords：Partial differential equation; finite difference method; five-point difference method; elliptic equation

目录

第1章 绪论 1

1.1 课题研究的背景及意义 1

1.2课题的来源及其研究内容 3

第2章 差分法与椭圆型方程概述 5

2.1　有限差分法原理介绍 5

2.1.1 有限差分法基本概念 5

2.1.2 有限差分法的性质 7

2.2　椭圆型方程概述 17

2.2.1系统微分方程的一般形式 17

2.2.2 常见的椭圆型偏微分方程 18

2.3 五点差分法 19

2.3.1 Laplace方程 19

2.3.2 Possoin方程 24

2.3.3 差分格式性质 25

第3章 代码实现 31

3.1理论支持 31

3.2 具体实现 34

3.3 代码实现思路 35

第4章 实例分析 37

4.1步长相等 37

第5章 总结 41

参考文献 42

附录 44

致谢 47

第1章 绪论

课题研究的背景及意义

科技发展的过程中，永远都离不开理论和实践，通过理论来分析实物的发展规律，在其发展规律的基础上进一步推理出利于人类社会、科学技术进步的有利因素，通过实验来进一步验证理论，得出理论的实际产物。科学的理论与计算往往由于研究对象的特殊性,不可以精确的使用理论来进行描述或者通过实验进行验证。其中特殊型包括计算量太大，或者现象出现的太快或者太慢，根本不容易进行研究。计算机的出现弥补了这些缺陷，通过计算机进行科学计算，这些现象往往可以得到研究。科学计算在各个学科中都得到了广泛的使用，成为了在很多研究方向上不可或缺的一门方法。科学计算使用的最多的方向就是在于求解在工作和生活中出现的偏微分方程。偏微分方程在很多方面都得到了使用，比如在使用核反应用于产生能量的过程中，在温度较高，压强较大的情况根本不能使用工具进行这个过程中的各个数据，通常需要使用非常复杂的偏微分方程组进行描述其中的能量变化过程，但是由于计算量过于庞大，不可能从理论得到一个非常精确的解。偏微分方程在航天航空方面以得到一定的使用，其中最为突出的就是风洞实验。在这些科学研究中，偏微分方程通过用来描述自然界中的现象以及模拟这个理论过程。但是存在一个非常严重的问题就是，许多列出的偏微分方程不能够进行实际的解答，导致建立的许多的偏微分方程不能得到实际的使用。好在科学计算的出现解决的这一根本矛盾，促进了偏微分方程的研究和发展，形成了的一系列关于偏微分方程数值解法的研究学科。微分方程数值解法最早出现是在上个世纪初就出现了，但是由于当时计算条件不够，也包括其他相关学科的影响，导致其发展也是非常的缓慢，根本没有形成一个理论体系较为完善的学科。计算机是促进计算发展的划时代产品，通过计算机可以快速地进行科学有效的计算。科学计算的主要任务在于求解一些非常复杂的偏微分方程与方程组，尤为关注一些大规模、非线性和集合不规则的非线性方程。学习偏微分方程的数值解法不在仅仅只是纯数学专业相关的人员，其中也包括大量从事力学，航科，计算机，原子能方面的人员，甚至包括金融人员也需要使用偏微分方程的数值计算来模拟推测经济的整体走向。科学的计算不仅仅至于较好的硬件设施相关，同时也与计算的方法的效率有关，有些方法的时间复杂度可能是与数据量成正比，也有可能与数据量成平方比，对于求解同一个问题，选择不同的方法，消耗的时间也会不一样。数值方法的发展对于提高问题得解题效率有着非常深刻的影响，虽然现有的计算方式已经很快，但是出于实际需求的不断增加，需要更快的计算方式，因此也是越来越多的投身于对偏微分方程数值解法的研究与学习，追求更加迅速的计算方式。

使用有限差分法对偏微分方程进行边值求解，其基础是把现实中连续的区域进行离散化，从时间和空间两个区域对实际的求解区域进行离散化，将整个求解区域进行网格化，将整体的边值条件转化为使用有限的线性方程求解处于求解区域范围内的各点值。由于计算机的内存空间大小是一定，不能将一个复杂计算中涉及到的所有数据都保存在计算机中，对偏微分方程进行连续性计算，因此在计算机中只能通过将求解区域不断离散得到有限个顶点进行计算，当时间步长和空间步长足够小的时候，就可以近似的将整个离散过程看作一个连续的计算。有限差分法的本本质时使用相连两个顶点的差值来除以对应的时间步长和空间步长（即差商格式）来代替偏微分方程中的导数，将过程连续的偏微分方程计算转换为有限个顶点的线性方程组求解。其中对于本文使用到的五点差分法，就是使用某个顶点的相连四个顶点的差商格式来替代时间方向和空间方向上的导数。对于二阶导数（即导数的导数）就是使用相连三个顶点的两次差指进行代替。当时间步长和空间步长无限趋近于零的时候，差分格式求解的值就可以与实际的精确解无限的趋近。差分法并没有对求解区域化分的时间步长和空间步长的取值进行限制，它们之间的取值是完全没有关联的，可以相等，也可以不相等。只不过步长相等时的整体运算比不相等的计算量较为小一点。