• 目的及意义

在工业发展长河中，钢板一直是常见的工程结构中的基本单元，其具备结构特性简单、受力及形变容易分析的优点，钢板在船舶、海洋平台等钢结构中的广泛应用就是一个很好的例子，几乎所有的船舶和海洋平台都是由一块又一块的钢板拼装而成，然而这些在大海中使用的钢结构因为长期暴露在海水环境下非常容易遭受各种腐蚀。而且腐蚀类型比较复杂，例如均匀腐蚀、点状腐蚀、槽型腐蚀和边缘腐蚀等。均匀腐蚀是均匀布于金属表面、在整个板表面范围内的厚度折减量一致的一种肉眼可见的腐蚀，腐蚀后的剩余板厚是确定的，目前均匀腐蚀下的船体板的研究已经相当成熟，船舶规范也把腐蚀的影响纳入考虑。点状腐蚀是随机分布于金属表面、在整个板表面范围内的厚度折减量随机不确定的一种比较隐秘的腐蚀，腐蚀后的剩余板厚是不确定的。槽型腐蚀易发生在靠近焊缝的加强筋与板的连接处。边缘腐蚀通常发生在加强筋末端和开孔周围等自由边上。

众所周知，腐蚀会导致钢板结构承载能力退化，促进疲劳裂纹、脆性破坏和失稳破坏的产生，严重影响这些钢板的使用寿命及对钢板各种性能的评估，给人们造成巨大的损失。研究已腐蚀的四边简支矩形弹性薄板的非线性静力响应对获得腐蚀状态下的薄板的应力分布规律和变形特征具有重要意义。

• 国内外的研究现状分析

到目前为止，国内外已经对含腐蚀的矩形薄板的强度和振动进行了许多研究。CHANDRASEKHARAPPA和SRIRANGARAJAN[1]运用Von Karman大挠度板理论研究了各种边界条件下方形和圆形弹性板的非线性动力响应。Jiang和GUEDES SOARES[2]进行了一系列的非线性有限元分析来研究点腐蚀对低碳钢板的极限抗压强度的影响，研究中考虑了板初始缺陷的影响，详细讨论了板和点腐蚀的几何特性的变化对板的极限承载能力的影响。Khedmatin和Nouri[3] 提出了一种解析的简化方法来推导已腐蚀的钢板的平均压力-平均应变关系，考虑了材料非线性和几何非线性的影响。Rahbar-Ranji [4]应用数值模拟研究了加筋板中腐蚀损伤对加筋板的弹性屈曲强度的影响，采用三维谱来模拟腐蚀表面的几何形状，并运用有限元法(FEM)来计算加筋板的欧拉压力。Rahbar-Ranji[5]研究了单面和双面已腐蚀的简支矩形板的弹性屈曲，采用有限元法来计算板的欧拉压力，研究了各种几何特征和腐蚀特性的影响,结果发现板的长宽比、平均厚度的减少,厚度减少的标准差和腐蚀损失量减少了腐蚀板的屈曲强度。Rahbar-Ranji [6]研究了两面部分腐蚀的具有不规则表面的板的弹性屈曲强度，采用有限元法来计算腐蚀板的欧拉压力，结果表明板的长宽比、腐蚀面积的位置、厚度减少的标准差和腐蚀的集中对弹性屈曲强度的减小有影响。

国内方面，江晓俐等[7]采用壳单元模拟船用板,研究了点蚀单面分布对板的极限承载能力的影响;探讨了采用点腐蚀密集度来表征板腐蚀破坏程度的有效性，结果表明在点腐蚀厚度相同的情况下,单面点腐蚀导致板的极限抗压能力的丧失更大。杜晶晶等[8]采用有限元软件研究了板的柔度、腐蚀面积、腐蚀深度对局部点状腐蚀板的极限强度的折减的影响，以及板的柔度、腐蚀体积对整体点状腐蚀板的极限强度的折减的影响，并利用最小二乘法拟合得到了各种腐蚀板的极限强度的折减的公式。张岩等[9]参照实船船体结构中的板格，以四边受到剪切力作用的四边简支板为研究对象，研究了在板表面存在点蚀损伤时板的极限剪切屈曲强度的评估方法，通过采用腐蚀体积来描述点蚀损伤和统计学方法建立了船体结构中含点蚀损伤板的极限剪切屈曲强度的计算公式。张媛媛和沈火明[10]利用 MATLAB 对薄板结构的振动进行了有限元分析，研究了四边固支薄板的强迫振动，得到了简谐激振力作用下板的稳态位移响应和速度响应。周志勇和秦卫阳[11]研究了考虑质量块的惯性时各向同性矩形薄板在动质量块和声源激励联合作用下的动态响应。唐国策和李敬[12]通过理论分析及有限元数值模拟研究了设备重量与薄钢板变形之间的关系,并通过算例对理论分析与有限元静力分析这两种方法进行了比较。冯国庆等[13]基于８０份散货船实船测厚报告，拟合出船舯甲板边板的腐蚀量均值随腐蚀年限变化的曲线，同时引入随机腐蚀模型的概念，根据整理好的腐蚀数据建立目标结构的随机腐蚀模型，采用该模型对目标结构进行腐蚀折减，应用非线性有限元方法对腐蚀结构进行了极限强度分析并对结果进行了可靠性分析。王向东等[14]基于Ambartsumyan改进的薄板理论，考虑了剪切变形、转动惯量及板中面的弯曲正应力的影响，采用双Fourier级数法研究了移动载荷作用下矩形薄板的动力响应。胡浩等[15]对四边松散夹支粘弹性薄板的几何非线性动力弯曲问题进行了分析，推导了四边松散夹支粘弹性薄板的非线性动力方程组，由Galerkin法得到该问题的非线性常微分方程组并进行了数值求解。

2. 研究的基本内容与方案

（1）基于矩形薄板的位移场、非线性应变-位移关系和线性应力-应变关系，以矩形薄板的横向位移和Airy应力函数作为自变量，推导横向载荷作用下考虑几何非线性的矩形弹性薄板弯曲的控制运动偏微分方程；将已腐蚀的矩形薄板的形状用板厚函数来描述：将板表面看作由具有不同厚度的9个部分组成，板厚函数及其三次方分别表示成Fourier级数展开的形式，绘制几种典型情况下板厚函数的曲面。

（2）假定满足四边简支边界条件的矩形薄板的横向位移的表达式；针对两类简支边界条件（第I类：面内位移受到约束；第II类：面内位移没有受到约束），根据Airy应力函数应满足的相应边界条件和假定的横向位移的表达式，分别推导Airy应力函数的表达式。