摘 要

近些年来，数据插值问题得到广泛关注和研究。插值是一种根据已知的离散数据点，在一定范围内推求新数据点的过程或方法。目前常用的插值算法主要可分为有网格方法和无网格方法，其中无网格方法由于其不依赖绝对坐标的特点，而在流体力学、遥感卫星等领域得到广泛应用。径向基插值是一种重要的无网格方法。

径向基插值是一种基于径向基函数的插值方法，它具有只考虑数据点之间的欧式距离而不依赖绝对坐标的特点。但其应用存在两个重要问题：一是核函数的选取问题；二是计算量较大。本文对上述径向基函数插值的两个问题展开研究，主要内容的如下：

1、介绍了径向基函数的研究目的与背景，阐述了径向基函数的研究现状；

2、介绍了径向基函数的一些基本理论，例如径向基函数的定义、核函数的种类等，通过算例描述了径向基函数插值的基本过程；

3、选取了高斯函数、立方函数、逆二次函数等核函数进行算例仿真，分析径向基插值核函数以及其对应的形状参数对插值精度的影响；

4、介绍了贪心算法的基本原理，并将其应用到径向基函数插值中。算例仿真从预设节点数和预设阈值两方面进行分析比较。
关键词：插值；径向基函数；核函数；贪心算法。

Abstract

In recent years, data interpolation has received extensive attention and research. Interpolation is a process or method to derive new data points within a certain range based on known discrete data points. At present, the commonly used interpolation algorithms can be divided into meshed methods and meshless methods. Among them, meshless methods are widely used in the fields of fluid mechanics, remote sensing satellites, etc. because they do not depend on absolute coordinates. Radial basis interpolation is an important meshless method.

Radial basis interpolation is a kind of interpolation method based on radial basis function, which has the characteristic of considering only the Euclidean distance between data points without relying on absolute coordinates. But there are two important problems in its application: one is the selection of kernel function; the other is the large amount of calculation. This paper studies the two problems of the above radial basis function interpolation, the main contents are as follows:

1. Introduce the research purpose and background of radial basis function, and expound the research status of radial basis function;

2. Introduce some basic theories of radial basis functions, such as the definition of radial basis functions, types of kernel functions, etc., and describe the basic process of radial basis function interpolation through an example;

3. Kernel functions such as Gaussian function, cubic function, and inverse quadratic function are selected for example simulation to analyze the influence of radial basis interpolation kernel function and its corresponding shape parameters on interpolation accuracy;

4. Introduce the basic principle of greedy algorithm and apply it to radial basis function interpolation. The example simulation analyzes and compares from the preset node number and preset threshold.

Keywords: interpolation radial basis function greedy algorithm

目录

摘要 I

Abstract II

第一章 绪论 1

1.1研究背景 1

1.2研究现状 2

1.3研究内容 4

第二章 径向基函数插值基本理论 5

2.1径向基函数定义 5

2.2径向基函数应用 6

2.3径向基函数插值模型 7

2.4径向基函数插值算例 8

2.5本章小结 9

第三章 径向基函数插值核函数的选择 10

3.1核函数 10

3.2形状参数 11

3.3仿真结果 11

3.4本章小结 15

第四章 径向基函数插值精简算法 16

4.1贪心算法 16

4.2径向基函数精简算法 18

4.3仿真结果分析 18

4.4本章小结 24

第五章 总结和展望 25

5.1 论文工作总结 25

5.2 论文工作展望 25

参考文献 26

致谢 28

第一章 绪论

1.1研究背景

在研究维数较高的数据时，由于数据往往不够完整，难以完成后续研究，因此常常需要进行数值预测。其中用的比较多的方法是曲面重构。曲面重构是逆向工程的一个关键环节，因为逆向工程的物理模型是由多个曲面切割、过渡而形成的复杂自由曲面，所以一些常规的曲面重构的方法不能被直接使用。我们需要对数据提前进行处理，然后再根据特征对测量的数据进行分块构造曲面^[1]。曲面重构一般包括逼近与插值两种方法。

本课题主要研究的是插值问题。插值是一种根据已知的离散数据点在一定范围内构造新数据点的方法；逼近是一种用较简单的函数来近似一复杂函数的方法。两者的主要区别在于，插值的曲线必须过数据点，但是逼近则不需要。插值是逼近的一个特殊形式，也是逼近的一个基础^[2]。插值还是离散函数逼近的一个重要过程，为此，我们可以知道函数中某些点的值然后估计出这个函数在其他未知点处的取值。