摘 要

离散傅里叶变换DFT相较于其他变换，是一种比较特殊的傅里叶变换，其特殊之处在于它不仅在时域是离散的，在频域里也是离散的。现代社会中，计算机的使用越来越广泛，为了更方便地利用DFT进行信号的频谱分析，快速傅里叶变换FFT这种数学工具应运而生。本文主要是对利用DFT分析模拟时间信号频谱的过程进行了研究，并对该过程中各环节采用的技术进行了详细的解释。由于用DFT来分析信号的频谱实际上是对原始信号频谱的一个近似过程，这个过程中可能出现一些问题造成误差，因此本文还着重分析了模拟时间信号频谱分析过程中误差形成的原因以及减小这些误差的解决方案，并在MATLAB软件平台上列举了对模拟时间信号进行频谱分析的实例。通过与理论分析结果的对比，解释了在DFT基础上分析信号频谱过程中存在的问题，如频谱混叠、频谱泄露及栅栏效应，并针对这些问题提出了相应的改进方法。

关键词：DFT；FFT；频谱分析；MATLAB

Abstract

Discrete Fourier transform (DFT) is a in time domain and frequency domain are discrete Fourier transform, to treat analysis of signal DFT, equivalent to in the frequency axis of the signal equal interval sampling, making originally continuous spectrum into the discrete spectrum. In modern society, the use of computers is more and more widely, in order to make more convenient use of the DFT signal spectrum analysis, fast Fu Liye transform FFT this mathematical tool came into being. In this paper, the process of using DFT to analyze the spectrum of time signal is studied, and the technology used in the process is explained in detail. Due to the use of DFT to analyze the frequency spectrum of the signal is actually on the frequency spectrum of original signal of an approximation process, the process may appear some problems caused by error. Therefore, this paper also focuses on the simulation time signal spectrum analysis error in the process of formation reason and reduce the error of the solution and on the platform of MATLAB software, lists examples of spectrum analysis of simulation time signal. By comparing with the theoretical analysis results, the problems existed in the process of DFT analysis signal spectrum are explained, such as spectrum aliasing, spectrum leakage and fence effect, and the corresponding improvement methods are proposed.

Keyword: DFT; FFT; frequency spectrum analysis; MATLAB

目 录

摘 要 I

Abstract II

第1章 绪论 1

1.1课题背景及意义 1

1.2国内外研究现状 1

1.3本文研究内容 2

第2章 频谱分析技术 4

2.1频谱分析的基本过程 4

2.2时域抽样定理 4

2.3时域加窗 6

2.4离散傅里叶变换 6

2.4.1离散傅里叶级数 7

2.4.2离散傅里叶变换的导出 8

2.4.3离散傅里叶变换的物理意义 9

2.5快速傅里叶变换 10

2.5.1按时间抽取的基2-FFT（DIT-FFT） 11

2.5.2按频率抽取的基2-FFT（DIF-FFT） 13

2.5.3 FFT在MATLAB中的应用 15

第3章 MATLAB实例分析 16

3.1离散时间信号谱分析 16

3.1.1 谱分析原理 16

3.1.2 实验结果及分析 17

3.2连续时间信号谱分析 18

3.2.1 谱分析原理 18

3.2.2 实验结果及分析 19

3.3语音信号频谱分析及滤波 22

3.3.1 语音信号的采集与频谱分析 22

3.3.2 语音信号的加噪与频谱分析 23

3.3.3 加噪语音信号的滤波 24

第4章 误差分析 28

4.1频谱混叠 28

4.2截断效应 28

4.3栅栏效应 31

第5章 总结与展望 35

参考文献 36

致 谢 37

第1章 绪论

1.1课题背景及意义

众所周知，当今社会是一个信息时代，在如今这个信息时代中，数字信号处理在各个学科和技术领域中的地位越来越重要，尤其是在通信、语音、图像、医疗、自动控制和智能家居等领域。信号是携带信息的载体，任何一个信号都同时具有时域和频域两方面的特征，而傅里叶理论的出现使得信号的频域研究比时域研究更加容易，且频域分析在滤波、压缩、检测等方面比时域分析具有更深刻的含义。故在信息技术领域中，信号的频谱分析显得举足轻重。人们可以通过对信号的频域特征对信号进行一定的分析处理，更深入地了解信号特性[^[1]]。

傅里叶变换在信号的频域和时域之间架起了一座桥梁。当信号为连续信号时，在时域内都有相应的傅里叶级数或傅里叶变换与之相对应，从而可以分析信号的频域特性。然而，实际工程中用来进行信号处理的计算机或DSP是离散时间系统，输入和输出都必须是离散信号，并不能直接对模拟时间信号进行频谱分析。为了解决这个问题，我们必须先通过对信号进行时域采样来实现时域的离散化，然后对其傅里叶变换进行采样来实现频域的离散化，这就是本文中反复提到的离散傅里叶变换。

1.2国内外研究现状

傅里叶变换理论大大地推动了现代数字信号处理的发展，这个伟大理论的创造者是法国科学家傅里叶，二百多年前，在他的经典之作《热能数学原理》中证明了“任一周期函数都可以表示成正弦函数和的形式，其中正弦函数的频率是周期频率的整数倍。”这个理论提出后极大地影响了科学和工程的发展，但是离散傅里叶变换（DFT）以及快速傅里叶变换（FFT）的提出才充分地将傅里叶的理论应用于信号分析。

FFT并不是一种新的变换，而是一种用来加快DFT计算速度的数学工具。通过理论分析。我们知道，如果直接利用DFT的变换公式来计算N点时间序列的DFT及IDFT，需要进行N²次复数乘法和N(N-1)次复数加法。而若采用FFT计算，所需的运算量约为(Nlog₂N)/2次复数乘法和Nlog₂N次复数加法，计算量明显大大降低。当N非常大时，FFT较之DFT的优越性就相当明显了。这种快速算法的出现，大大地推动了离散傅里叶变换在各个领域的应用。