摘 要

非常偏振光入射到单轴晶体在一定条件下会出现折射光线与入射光线在法线同侧的现象，这就是单轴晶体中的负折射。利用色散方程推导了光在单轴晶体表面的折射公式，得到入射角、折射角、光轴取向角之间的变化关系为：折射角随入射角的增大而增大，随光轴取向角的增大先减小后增大再减小。进一步求出了负折射临界入射角和最大负折射角的表达式，得出临界入射角最大值随双折射率的增大而增大 ，负折射角最大值随各向异性参量的增大而增大。讨论了两晶体间实现零反射的条件，得出孪晶界面可以实现零反射。

设计了两种光轴取向的单轴晶体组合的环形波导，计算了光在不同单轴晶体组合中的传输情况为：正方体波导与六角形波导均能在一定入射角范围内实现对障碍物的绕行，对于能发生负折射的界面,上一界面的折射角与下一界面的入射角之和六角形波导比正方体波导更小，因此六角行波导更容易发生负折射。对于同种入射方向实现负折射的面越多，实现绕行一周的可能性越大，六角形波导比正方体波导更容易实现绕行一周。

本文的特色在于：应用单轴晶体的负折射和零反射实现低损耗波导，设计了不同光轴取向的单轴晶体组合，讨论了不同入射方向和折射率时的绕行情况。

关键词：负折射；孪晶结构；晶体波导；YVO4晶体

Abstract

When e-light is incident on a uniaxial crystal, under certain conditions, the phenomenon that the refracted ray and the incident ray are on the same side of the normal line appears, which is the negative refraction in the uniaxial crystal. The refraction formula of light on the surface of uniaxial crystal is derived by using the dispersion equation. The relationship between the incident angle, the refraction angle and the optical axis angle is obtained as follows: the refraction angle increases with the increase of the incident angle.And as the angle of the optical axis increases, it decreases first, then increases and then decreases.The expressions of the critical incident angle and the maximum negative refraction angle are further obtained. It is concluded that the maximum value of the critical incident angle increases with the increase of the birefringence, and the maximum value of the negative refraction angle increases with the increase of the anisotropic parameter. The conditions for achieving zero reflection between the two crystals are discussed, and it is concluded that the twin interface can achieve zero reflection.

Two kinds of optical axis oriented uniaxial crystal combined ring waveguides are designed. The transmission of light in different uniaxial crystal combinations is calculated. Both the square waveguide and the hexagonal waveguide can achieve obstacle bypassing within a certain range of incident angles. For an interface capable of negative refraction, the sum of the refraction angle of the upper interface and the incident angle of the next interface of the hexagonal waveguide is smaller than that of the square waveguide.Thus the hexagonal waveguide is more susceptible to negative refraction. The more interfaces that achieve negative refraction for the same incident direction, the more likely it is to achieve a round-trip, and the hexagonal waveguide is easier to bypass than the cube waveguide.

The characteristic of this paper is to realize the low-loss waveguide by applying the negative refraction and zero reflection of uniaxial crystal. The uniaxial crystal combination of different optical axis orientation is designed, and the detour of different incident directions and refractive index is discussed.

Key Words：negative refraction;twin crystal structure;crystal waveguide;YVO4 crystal

目 录

第1章 绪论 1

1.1 研究背景 1

1.1.1 负折射研究现状 1

1.1.2 YVO4晶体的应用 2

1.2 目的及意义 3

1.3 课题研究内容 3

第2章 e光在单轴晶体界面折射 5

2.1 e光光波与光线的离散 5

2.2 单轴晶体折射率椭球 7

2.3 e光在不同界面的折射 8

2.3.1 均匀-非均匀介质界面 8

2.3.2 非均匀-非均匀介质界面 13

第3章 单轴晶体组合导波 16

3.1 孪晶结构 16

3.2 正方体结构 16

3.2.1 波导结构 16

3.2.2 传输光路 17

3.3 六角形结构 20

3.3.1 波导结构 20

3.3.2 传输光路 20

3.4 耦合角控制 23

第4章 结论与展望 25

4.1 结论 25

4.2 展望 25

参考文献 26

致谢 27

第1章 绪论

1.1 研究背景

光波导是引导光波在其中传播的介质装置，又称介质光波导。光波导一般可以分为两类：一类是集成光波导，通常有平面介质光波导和条形介质光波导两种结构，由于它们非常利于集成，通常用于光电集成器件；另一类是圆柱形光波导，通常称为光纤。目前使用的光波导一般是利用光的全反射现象使光局限在波导及其周围有限区域内传播的原理制作。利用负折射的原理同样可以制成光波导。

1.1.1 负折射研究现状

负折射是俄国科学家Veselago在1968年提出的，指当光从具有正折射率的材料入射到具有负折射率材料的界面时，入射光和折射光在相对于界面法线的同侧。Pendry研究发现负折射材料具有完美光学成像、逆Doppler频移、反常Cerenkov辐射等多种现象。现在对负折射的定义进行了拓展，目前人们已在左手材料的界面处、光子晶体的界面处、各向异性晶体的界面处观察到了负折射现象。负折射材料有广泛的应用，一般对高斯光束有自准直特性以及平板成像等功能，用负折射率材料制作的透镜可以对分辨距离小于一个波长的物体进行分辨，由于其对光线的偏折特性也为隐身衣的设计提供了新的思路。

左手介质可由负等效介电常数的金属线及负等效磁导率开环回路组合而成，目前已经应用于波导中。左手介质中波矢量、电场矢量和磁场矢量满足左手法则。由于在左手介质中电磁波的能流方向与波矢相反，因此在由左手介质与普通介质构成的波导中电磁波在不同介质中平均流量传输方向相反。当左手介质层与普通介质层中能流大小相当时，导模在左手介质波导中会以极低的群速度传播。左手介质慢波波导可以作为陷波器及缓冲器。左手介质波导的导波具有基模缺失、存在向后波、可以同时存在同一种模式的两个导模等导模特性。光子晶体是一种介电常数随光波长的大小呈周期性变化的人工晶体，在这种周期性介质结构中,特定频率的光及电磁波不能在其中传播,即存在“光子带隙”，因此人们可以利用这一特性设计激光器，波导等器件。负折射光子晶体单界面波导的慢波特性优于左手介质波导的慢波特性且利用这种波导结构做为全反射结构可以实现比左手介质全反射界面光束分布更好的巨古斯一汉森位移特性^[1]。最近在产生负折射的结构方面有了新的进展，通过三角棱镜也可以实现负折射，棱镜的斜边呈阶梯状，因为它是由立方体单元构成的。每个单元格所产生的大相位延迟，加上斜边的阶梯形状，为负折射创造了必要的条件^[2]。

单轴晶体是指只有一个光轴的晶体。单轴晶体中的负折射现象与负折射率材料不同，单轴晶体中的主折射率均为正折射率，单轴晶体的负折射现象是由单轴晶体的各向异性决定的。晶体的各向异性是指在晶体不同方向上表现出不同的性质，这是因为在晶体的不同方向上构造基元的排列一般不同。不同晶体的结构具有不同的空间对称性，在主轴坐标系中介电张量的独立分量数目不同。单轴晶体的介电常数ε₁=ε₂≠ε₃^[3]。由于单轴晶体的各向异性e光的光线与波矢方向不同，因此可能发生负折射。值得注意的是，并不是任意入射角都能发生负折射，单轴晶体中实现负折射的入射角有一定的范围，负折射角也有一定的范围。负折射的临界入射角最大值和最大负折射角最大值均取决于双折射率△n=|n_e-n_o|，且△n越大临界入射角最大值和负折射角最大值越大^[4]。

一直以来单轴晶体的负折射应用均没有左手介质和光子晶体广泛，直到Yong Zhang和他的同事发现在一种含有钇、钒和氧的“孪生”合金中，存在完全的负折射。研究人员发现，该界面还可以折射任何频率的光和电子波。这是对以前只适用于微波辐射的负折射率材料的改进。孪晶的零反射的发现使单轴晶体的负折射有了更广阔的应用前景。此外，单轴晶体可以为天然材料，而左手介质和光子晶体为人工合成材料，单轴晶体更容易获得。近年来由双晶组成的两性折射介质由于能在超材料以外的常规晶体中实现负折射，得到了越来越广泛的应用^[5]。

1.1.2 YVO4晶体的应用

一般单轴晶体的各向异性参数较小，限制了负折射的入射角范围^[6]。但在实际应用过程中往往需要较大的入射角范围和较大的折射角度，因此需要选择合适的双折射率材料。YVO4晶体在可见光及近红外波段有良好的透光性，透光范围较宽，有较大的双折射系数、硬度较高，可人工生长出大块优质晶体，并且易于加工，价格较低，是光通信无源器件如光隔离器、旋光器、延迟器、偏振器中的关键材料。由于YVO4晶体具有相对大的双折射率，因此YVO4晶体有着较大范围的负折射入射角和负折射角，负折射更容易实现且更明显。

YVO4晶体的负折射目前主要应用于平板负折射成像。将4块尺寸相同的YVO4晶体按照光轴取向角依次为-45°、45°、-45°和45°的顺序通过直接键合技术键合在一起，四个晶体的光轴均在入射面内。物体发出的两束e光分别向内部两块YVO4晶体入射，两束光能够同时出现负折射，两束折射光在双晶界面处会聚。随后两束光交叉，同时发生一次正折射后的两束光分别通过外部的两块YVO4晶体后射出，两束光再次同时出现负折射，在平板外部会聚成像^[7]。对于较大的入射角，第一次折射可能超过负折射的最大入射角，第二次和第三次折射可能为负，也可能不为负。对于满足负折射极限内角度较小的入射光，从同一点出发的折射光在多次折射后汇聚于同一点，即实现负折射成像。

1.2 目的及意义

目前直接应用单轴晶体的负折射现象制成光波导的研究较少，但应用单轴晶体负折射对光线的偏折特性制成环形波导有很多实用价值，例如光线在传播过程中会遇到障碍物，希望仅在障碍物上嵌套一个元件，使光通过该元件就可以绕过障碍物。

本文的目的是分析e光在不同界面上的折射情况，定量分析折射角与入射角和光轴取向角的关系，讨论负折射临界入射角和最大负折射角与双折射率的关系，分析不同入射方向和光轴方向时的负折射条件以及入射角和折射角范围。根据YVO4晶体有着较大范围的负折射入射角和负折射角的特点，本文通过多个YVO4晶体的拼接成闭合多边形制成环形波导。波导在实际应用中希望光能的损耗尽可能小，但在一般情况下界面上会存在反射损耗，本文将推导双晶界面的零反射条件，通过选取合适的光轴角度来实现双晶界面无反射损耗，从而制成低损耗波导。光线首先在波导的侧面入射，经过一次正折射后在环形波导中经过多次正折射和负折射能实现一定角度的偏折从而实现一定角度和面积的绕行。对比不同光轴取向的单轴晶体组合的环形波导、不同入射方向和角度、不同波长光入射时的绕行情况，判断光线能否绕行一周，计算不同情况下满足绕行一周时的入射角范围。讨论与正折射相比界面发生负折射的优势。使用波导时将障碍物嵌套在波导中心，在一定入射角度范围内可以根据障碍物的大小确定绕行角度和面积，波导的外形可以根据实际情况进行切割。

1.3 课题研究内容

第一章绪论，介绍了负折射及其主要应用，了解了YVO4主要参数和晶体特性，分析了YVO4晶体的优势，介绍了利用YVO4晶体的负折射和零反射制作环形波导的应用背景。

第二章e光在单轴晶体界面折射，首先分析了负折射原理，推导了e光光线入射到不同界面时的折射角公式，发现不论是均匀-非均匀介质界面还是非均匀-非均匀介质界面均能发生负折射。推导出了最大负折射角、临界入射角等参数的条件及计算公式，讨论了光轴方向和双折射率对这两个参数的影响，分析了负折射的实现条件。分析了e光在晶体不同界面传输实现零反射的条件，给出了孪晶界面的e光折射角与入射角的关系。

第三章单轴晶体组合导波，根据零反射条件设计的波导采用光轴方向对称的孪晶结构，设计了两种不同光轴取向的单轴晶体组合的环形波导：正方体波导和六角形波导。分析折射光在不同结构的环形波导内的传播情况：根据不同界面e光折射角计算光路，根据各界面负折射的最大负折射角、临界入射角判断每个界面的折射类型。讨论光线在每个界面的折射角度和方向，求出下一界面入射角与上一界面折射角的几何关系，最后讨论在波导的哪个面出射。控制好入射角度使尽可能多的界面的入射角小于临界入射角，负折射不能太小以使下一界面满足负折射条件，即使发生负折射的界面尽可能多，绕行角度尽可能大。讨论了满足负折射条件界面的数量对绕行角度的影响。分析不同各向异性参量情况下绕行情况有什么不同。计算满足绕行一周时的入射角范围。为了扩大入射角度范围以及使大角度时更容易发生负折射，提出了一种对环形波导结构的改进方法。

第四章结论与展望，总结单轴晶体的负折射特性，综合分析运用YVO4晶体制作光波导的可行性，分析设计的波导的局限性，再对光波导的改进提出一些建议。

第2章 e光在单轴晶体界面折射

2.1 e光光波与光线的离散

一条入射光线通过单轴晶体界面通常会产生两条折射光线，此即单轴晶体的双折射现象。在单轴晶体中，光线沿某一特殊方向传播不会发生双折射，这个方向就是单轴晶体的光轴。光轴与晶面法线构成的平面称为主截面。晶体中的光线与光轴构成的面称为主平面。入射光线、折射光线、反射光线与晶面法线构成的平面分别称为入射面、折射面和反射面。光线入射到单轴晶体折射成的两束光为两束偏振方向不同的线偏振光o光和e光，o光主平面与e光主平面一般不重合。o光的电位移矢量与电场强度方向一致，它们均垂直于o光主平面。e光电位移矢量和电场强度均位于e光主平面内，分别与o光的电位移矢量和电场强度垂直，但电位移矢量与电场强度不一定重合。将电场强度、电位移矢量、磁场强度公式代入麦克斯韦方程可以得到

(2.1)

(2.2)

(2.3)

由此可以得出D、E、k和S共面且，，H垂直于这四个矢量构成的平面^[3]。

单色平面波在晶体中传播时可以根据麦克斯韦方程在晶体的主轴坐标系中可以得到以下关系：

(2.4)

再根据式（2.2）可以得到以下关系：

(2.5)

在单轴晶体中k₀不一定与E垂直，因此若使公式（2.5）成立则必然

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