摘 要

近年来，随着人类科技文明的快速发展，反常涡旋圆偏振光束因其具备特殊的光学特性而进入了越来越多科研者的视线，也即是说，反常涡旋圆偏振光束可看作由径向偏振分量以及角向偏振分量相互叠加而成，并且反常涡旋圆偏振光束还携带有轨道角动量，携带的轨道角动量可以通过能量的形式传递给某些纳米级微粒，这份能量可以实现微粒的旋转运动，此外，这份能量还可以实现对很多极小如微米级、亚微米级粒子的俘获和平移等，在原子光学和分子光学等领域具有广泛的应用前景。这使得越来越多的科研者对各种光束的紧聚焦特性进行了较为深入的研究，例如高次方涡旋光束，涡旋相位编码的径向矢量光束，阵列涡旋光束，各类偏振超短脉冲光束角向偏振光束和径向偏振光束的紧聚焦特性，研究了各类光束经过高数值孔径透镜紧聚焦后在焦平面附近的光场特性，偏振度，相干度等。

此外，涡旋光束在光通讯的信息传输上也有很大的应用前景，利用涡旋光束的轨道角动量可对信息进行编码与传输。而且相对于传统的编码模式来说，利用涡旋光束的轨道角动量来进行的编码具有较高的编码能力以及保密性。鉴于涡旋光束特性的复杂和多样性，涡旋光束还可以作为光学镊子，光学扳手和原子电动机等，反常涡旋圆偏振光束的这些特性和作用让其研究具有极深远的意义。自从反常涡旋圆偏振光束的概念被提出来后，人们对此种光束的紧聚焦特性研究相对于它其它的特性来说不算很多，本论文将基于德拜积分理论，结合matlab的仿真分析，对反常涡旋圆偏振光束通过高数值孔径透镜后的紧聚焦场的特性进行研究。

首先，结合德拜积分理论以及光束的紧聚焦理论，推导出反常涡旋圆偏振光束经过高数值孔径透镜紧聚焦后光场的数学表达式，通过改变具体的参数设置，分析讨论了参数变化对光强分布带来的影响，发现拓扑荷数、光束阶数、数值孔径等的值均对光场分布有影响。

关键词：德拜积分，涡旋光束，紧聚焦特性

Abstract

In recent years, with the rapid development of human civilization, abnormal vortex circularly polarized beam because of its special optical properties and into the line of sight of more and more researchers, namely, says abnormal vortex circularly polarized beam can be seen as the radial polarization components and polarization Angle will overlap and become, and abnormal vortex circularly polarized beam with orbital angular momentum, the carry of the orbital angular momentum can be passed through the energy in the form of a certain nanoscale particles, the energy can achieve the rotation movement of the particles, in addition, the energy can also realize the many tiny such as micron, submicron particle trapping and translation, etc., It has a wide application prospect in atomic optics and molecular optics. This makes more and more researchers tight focusing characteristics of various beam has carried on the thorough research, such as high power of vortex beam, the vortex phase encoding radial vector beam array vortex beam, all kinds of polarization Angle to the ultrashort pulsed beams polarized beam and radial polarization beam is focused on the characteristics, all kinds of light beam is studied after a high numerical aperture lens tightly focused near the focal plane of the light field characteristics, degree of polarization and coherent degree, etc.

In addition, vortex beam has a great application prospect in optical communication information transmission. Compared with the traditional encoding mode, the encoding using the orbital angular momentum of vortex beam has higher encoding ability and confidentiality. In view of the complexity and diversity of the characteristics of vortex beams, vortex beams can also be used as optical tweezers, optical wrenches and atomic motors, etc. These characteristics and effects of anomalous vortex circularly polarized beams make their research of great significance. Since the abnormal vortex after be brought up the concept of circular polarization beam of light, people to this kind of beam tight focus features research relative to it are not as many other features, this paper will be based on the Debye integral theory, combined with matlab simulation analysis, the abnormal vortex circularly polarized beams through a high numerical aperture lens after tight focusing field characteristics were studied.

First, combining the theory of Debye integral and tightly focused beam theory, abnormal vortex circularly polarized beam is deduced after high numerical aperture lens tightly focused light field of mathematical expressions, by changing the parameters of the specific Settings, analysis of the effects of parameter change of light intensity distribution is discussed, found the topological charge number, the beam order, such as numerical aperture optical field distribution in the value of the possible impact.

Key words: Debye integral theory; anomalous vortex beam; tight focusing

目 录

第1章 绪论 1

1.1 研究现状 1

1.2 研究内容与意义 2

1.3 论文结构 4

第2章 基本理论 6

2.1 涡旋光束的产生 6

2.2 Debye积分理论 7

2.3 圆偏振光的紧聚焦理论 10

第3章 数值模拟及仿真分析 12

3.1 紧聚焦场的光场分布 12

3.2 数值分析 14

第4章 总结与展望 19

4.1 总结 19

4.2 展望 20

参考文献 21

致谢 23

第1章 绪 论

在我们生活中，相对来说，光是我们接触最多的一种自然现象，不管是动物还是植物的活动都离不开光，光也为我们人类生活带来了数之不尽的便利。光学和声学、电学以及力学一样，是物理学中比较古老的基本学科之一，也是时下的研究热门学科之一。早在很久以前，我国历史上就有记载如小孔成像，光和影子的关系等，这说明了我国对光的研究是很早的，并且有相应的理论基础。

1.1 研究现状

正常情况下我们所接触到的光线在空间都是沿着直线传播的，但是在太空中传播的光束其实是可以呈螺旋的方式进行传播的，早在很多年前，英格兰布里斯托尔大学的首席研究人员马克·丹尼斯就说过：“在太空中穿行的光束就像在河流中流淌的水”^[1]。而这些旋转着传播的光因为像漩涡一样运行而被称作光涡旋。光涡旋其实是一类等相位面呈螺旋状分布的光束，而且具有轨道角动量^[2]。在涡旋光束传播的过程中，因为其相位的不确定性或者发生相位突变而产生奇点，而在奇点处光的许多性质是不存在的，例如在奇点处是不存在光强的，另外，奇点处光的加热效应已经光的衍射效应都是不明显的。Whewell是属于较早去研究奇点的人之一，早在十八世纪初，他在观察潮汐现象时发现潮汐峰会消失，根据这一发现，他知道，潮汐波中肯定存在着其它未知的东西，于是，他提出了在潮汐波中存在相位奇点^[3]。当涡旋光束围在相位奇点的周围进行旋转运行时，像水流的涡旋一样，故而把它叫做涡旋，在物理意义上的一个光学涡旋中，其中心始终不存在光强，而且其相位也是不确定的。十九世纪末，Nye和Berry的团队对相位奇点进行了深入的研究，并针对相位奇点的内容发表了论文，在论文中，他们对相位奇点的相关内容做出了比较准确的介绍，让人们对其得以认识^[4]，随后，Lee等人率先提出，在具有平滑波前的光波中，通过人为因素加入相位奇点可以产生光学涡旋^[5]。历史总是相似的，和当初人类发现光孤子一样，涡旋光束也具有其独特的特性，在被提出来后，很快便被无数科学家系统化的研究，这在当时的这一领域引发了不小的反响，而涡旋光学也顺理成章的成为了科研者们的研究焦点。

科学的力量是伟大的，涡旋光从概念的提出到为人类的生活产生作用，为人类服务，仅仅用了一百来年的时间。因为涡旋光束在光学角动量等方面具备特殊的性质，使之得到了广泛而实际的应用，最明显的是被应用于光学的微操纵技术方面。与传统的光学研究相比较，其具有可靠性高、无接触、尺度小、重复性高等特点，涡旋光在对介观粒子的微操纵方面的独特优势^[6]，为我们的生活、生产带来了巨大的改变。

我们都知道，当光学系统的数值孔径值超过0.7后便被称为高数值孔径，高数值孔径透镜系统会对入射光束进行强汇聚，也就是我们所谓的紧聚焦，此时，对于我们的研究系统来说，惠更斯菲涅尔原理已经不适用^[7]。因为在以前我们的研究基本都是处于傍轴近似的条件下，这时透镜的数值孔径相对来说是比较小的，因而我们可以忽略光线的变迹和像差等效应^[8]。而当研究条件处于高数值孔径透镜系统下时这些效应显然不能忽略。此时，我们可以用Richards-Wolf 模型所给出的矢量衍射理论给出焦点附近的光束特性^[9]。

K.S. Youngworth,T. G. Brown于2000年给出了角向偏振光束和径向偏振光束通过高数值孔径透镜后紧聚焦条件下焦点附近的光强分布，并且做出了相应的模拟，发现了角向偏振光束经过高数值孔径透镜紧聚焦之后在焦点附近没有径向偏振光的成分，仅有角向成分，而且在焦点附近光强为0形成暗心结构；径向偏振光束在经过高数值孔径透镜紧聚焦后在焦点附近的光场不存在角向分量，只有径向分量和轴向分量，并且在焦点处光强达到最大值^[10]。特别的，径向偏振光束在经过高数值孔径透镜紧聚焦后，紧聚焦光场的分布主要集中在光轴上，并且轴向分量相对很大。L. Rao等人通过改变入射光束的涡旋性质已达到改变高数值孔径透镜焦点附近光场的目的^[11]。2008年，H. F. Wang, L. P. Shi, B. Lukyanchuk, C. Sheppard和C. T. Chong利用衍射光学器件改变入射光的偏振状态已达到改变焦点附近光场分布情况^[12]。

在2013年，Ostrovsky和其研究团队通过研究并提出了完美涡旋的概念，说的是涡旋半径不依赖于拓扑荷数的涡旋结构^[13]。而完美涡旋光是一种比普通涡旋光特性更优秀的光束，因而完美涡旋在各个领域由于其潜在的巨大应用价值而受到研究学者们的关注，各类关于完美涡旋的研究报道也是屡见不鲜。在完美涡旋的概念被提出来之后，许多的研究学者们更好奇的是怎么去产生完美涡旋，在经过了很多人的努力后，Chen等人提出了利用轴棱镜可以产生完美涡旋^[14]。

将紧聚焦系统和普通的聚焦系统相比较，明显紧聚焦得到的光斑尺寸大小可达到亚波长量级，形成一个具有三维空间分布的光场且具有较长的纵向光场分量。由于光束的紧聚焦后具有的优良特性，使得其在光学捕获、材料加工、粒子加速以及高分辨率成像等领域有着极其重要的应用^[15]。

1.2 研究内容与意义

在光子说里面通常认为光是一种以光速运动的光束流，光子这种电磁场量子和其他基本粒子一样，具有能量、动量和质量等^[16]，而且它的粒子属性和其波动属性（频率、波矢、偏振等）有着密切的联系。因而光的波动属性常常作为我们研究的重要属性，圆偏振就是其中之一，也是本次的主要研究内容。

我们都知道，一束光在经过孔径透镜聚焦后，会汇聚成一个光斑，而当光学系统的数值孔径值比0.7还要大时，我们称此时的透镜聚焦为大数值孔径聚焦，这时我们在聚焦场将会获得比普通数值孔径聚焦更小的光斑尺寸，这对我们成像系统来说是一个很好的特性，因为它能使我们成像系统的空间分辨率得到有效的提高，当然，在光束经过高数值孔径透镜系统后，除了得到更小的光斑尺寸，还会产生较强的纵向分量，由于高数值孔径透镜系统的这些独有的特性，使得其在实际的生产生活中有着重要的意义，比如在对光的捕获、微操纵领域，光束的紧聚焦也变得更加重要。

自发现反常涡旋圆偏振光后，其轨道角动量就被认为是最有趣的光学模式之一^[17]，围绕着反常涡旋光束的一系列研究工作也从反常涡旋光束的产生所展开，当然，关于测量反常涡旋光束的轨道角动量特性也受到了科研者们的关注，例如我们可以利用三角形狭缝以及方形狭缝、双扇形狭缝等来测量反常涡旋光束的轨道角动量态，从而对反常涡旋光束的某些特性进行分析讨论，在诸多科研者的努力下，涡旋光束在很多领域潜在的巨大应用价值也在逐渐被人类开发。

在光操纵领域，2002年在Grier课题组全体成员的大力推动下，科研者们在光镊的应用领域里实现了对涡旋光束的利用，并且能够将不同类型的光束相互转换，以及独立控制每束光束的方向，这就是我们平常说的全息光镊^[18]。在光通讯传输领域，正常情况下光子的轨道角动量态是可以一直增大的，这让光通讯领域的研究学者愈发对其产生极大的兴趣。在2004年，Padgett和他的研究团队利用涡旋光束的特性实现了短距离的空间光通讯，随后也研究出来长距离的涡旋光通讯^[19]。这在当时引发了一阵涡旋光通讯狂潮，越来越多的人们在光通讯系统里面加入了涡旋光束，并且取得了比较好的效果^[20]。当然，除了这两者之外，涡旋光束在光成像领域的应用也取得了很好的进展，这与涡旋光束的一特性有关，也就是说涡旋光束能够探测到物体附近的区域。利用涡旋光束面包圈形状的光强分布，可以绕开物体的中心而探测周围目标^[21]。人类就是利用了这一原理，制成了可以探测物体周围目标的望远镜。

由于涡旋光束具有轨道角动量，而且所携带的轨道角动量还可以通过能量的形式传递给微粒，这部分能量可以驱动微粒旋转运行，还可以实现对很多极小的粒子如微米级、亚微米级粒子的俘获、平移等^[22]。除此之外，涡旋光束在信息编码上也有着巨大的应用潜质，利用涡旋光束的轨道角动量可对信息进行编码与传输^[23]。而这种新的方式有着较高的编码能力以及较高的保密性等，在目前有很多关于图像加密的文章，便是通过涡旋光的编码方式来实现的。当然，涡旋光束也和普通的光束一样，具备一般光束所具备的性质，比如它也有干涉和衍射等光现象^[24]。

由于涡旋光束所具有特征的复杂和多样性，以及肉眼可见的应用潜力，使得涡旋光束很快便受到了人们的关注。从现在人们对它的研究程度来看，涡旋光束还可以用于很多光学器件，如原子电动机，这都是基于涡旋光束的轨道角动量的优秀特性，也就是说涡旋光束可以用来控制很多微观级粒子。涡旋光的研究领域相对来说对人类的科学研究是很有用的，基于涡旋光束这一研究领域的理论基础和其未来的潜在应用价值，这对于我们对光本性的认识有着重要的意义，所以对反常涡旋圆偏振光束的紧聚焦特性的研究具有十分重要的科学意义。

虽然目前有大量的研究学者对于涡旋光束的产生以及其轨道角动量态的特性进行研究，但是关于反常涡旋圆偏振光束的紧聚焦特性研究相对来说还不是特别多，本次设计主要是通过模型建立的方式来达到对反常涡旋圆偏振光束的紧聚焦特性研究的目的。

1.3论文结构

本论文主要的研究内容是结合Debye积分理论以及圆偏振光束的紧聚焦理论，推导出了反常涡旋圆偏振光束经过高数值孔径后的紧聚焦场的数学表达式，然后结合matlab建立模拟仿真，并做出相应的数值分析，进而通过参数变化而得到反常涡旋光束的紧聚焦场特性，主要是拓扑荷数，光束阶数以及数值孔径值的变化对光场分布情况的影响，并对光场的强度分布情况加以分析研究。

本论文对每章内容的安排如下：

第1章

绪论

本章主要是介绍了论文的研究现状，从直线光说起，进而到涡旋光束的发现、产生以及发展，大致讲述了人们对涡旋光束的发现提出到生产应用的研究情况和发展过程。并对论文的研究内容、意义及要求进行了阐述，确立了论文的内容安排。

第2章

研究的基本理论

本章主要介绍了各种模式涡旋光束的产生，以及本论文需要用到的理论方法，主要是德拜积分理论和反常涡旋圆偏振光束的紧聚焦理论。并对其做出了详细的分析与介绍。

第3章

数值模拟及仿真分析

本章研究了反常涡旋圆偏振光束的紧聚焦特性，由于圆偏振光束是可以看作径向偏振光束和角向偏振光束的叠加，基于第二章提到的德拜积分理论，理论推导得到紧聚焦场的场表达式，再结合matlab的仿真与分析，通过具体参数的设置，数值的分析讨论了圆偏振反常涡旋光束的紧聚焦特性。再对相关参数进行合理的调整，发现了可以在不同的传输距离的到平顶光束。

第4章

总结和展望

对圆偏振反常涡旋光束的紧聚焦特性进行分析总结，并对本次研究的不足之处加以分析完善。

第2章 基本理论

这一章的主要内容是光学涡旋的产生以及此次研究所需要的基本理论，包括了德拜积分理论和圆偏振光束的紧聚焦理论。在经过诸多学者的努力，现在光学涡旋的产生方法已经有很多，本论文主要介绍全息法产生光学涡旋。由于光束的紧聚焦不能忽略光线的像差等效应，故而普通的衍射公式已经不再适用^[25]，因此，本论文结合了德拜积分理论，导出了反常涡旋圆偏振光经过高数值孔径透镜后的场表达式。

2.1 光学涡旋的产生

涡旋光束的角动量包括了两部分，一是和涡旋光束本身特性有关的轨道角动量，二是和涡旋光束偏振状态相关的自旋角动量。前面我们也提到，光子角动量的传递会产生能量，并且产生的能量可以给我们的生产生活带来很大的帮助，例如实现对纳米级粒子的运行捕获、旋转以及移动等操控。这使得涡旋光束在很多领域都拥有很重要的巨大应用前景，如量子光学、医学以及光通讯传输等等。

然而我们都知道，通过一般的激光器能产生的涡旋光束仅仅是普通的涡旋光束^[26]，于是产生各种模式的涡旋光束的方法成为了研究学者们急需解决的问题，使得这个领域引起了广大研究学者的关注，目前，经过他们的努力，发现了很多产生光学涡旋的方法，其中，比较常见的方法有全息图法、螺旋相位板法、几何模式转换法等，本章主要介绍的是全息图法产生各种模式的光学涡旋。

利用全息图法^[27]来产生光学涡旋是一种相对来说比较简单的方法，并且利用这种方法带来的转换效率相对于其他方法来说是比较高的。这种方法主要是利用计算机制作并生成全息图，不需要实际的其它物体，而且其优点也很明显，制作速度快，过程简单灵活。具体的做法是由计算机处理将要用到的数学表达式，然后再控制打印机制图，就可以得到我们想要的全息图。然后再把我们的实验显示装置和计算机匹配到一起，这样就能得到需要的涡旋光束。目前这种方法是研究学者们广泛应用以产生光学涡旋的方法之一。