摘 要

势阱问题是量子力学中的经典问题之一。而一维势阱问题是势阱问题的基础。一维势阱是粒子在一维空间中运动的一种特殊势场。通过阱内阱外取不同的势函数可以得到不同的一维势阱模型，从而研究不同模型下的粒子能级、波函数与概率密度。

论文主要研究了在一维无限深方势阱、一维半边无限高方势阱和一维无限深梯形势阱中粒子的能级、波函数以及概率密度函数。先是通过理论推导加数值计算的方式求出结果，后通过Matlab软件进行可视化仿真，达到直观、简洁的效果。

研究结果表明在一维无限深方势阱中粒子在势阱中的概率密度是随着量子数的改变而改变的，在各处是不均匀的。在一维半边无限高方势阱中，粒子出现概率最大值出现在远离无限高势阱的一边。在一维无限深梯形势阱中，粒子处于区域右侧的概率要大于粒子处于左侧的概率，且当粒子的能量低于临界能量时，其波函数会在势阱内从一个非最大的值迅速衰减直至为零。

本文的特色是选定了几个不同的一维势阱模型进行仿真，从而达到对一维势阱问题更深刻认识的目的。同时充分利用了Matlab软件进行计算与仿真，使计算过程更简便，结果更可视化。

关键词：薛定谔方程；一维势阱；波函数；概率密度；Matlab

Abstract

Potential well problem is one of the classical problems in quantum mechanics. One dimensional potential well problem is the basis of potential well problem. One dimensional potential well is a special potential field of particle in one dimensional motion. Different one-dimensional potential well models can be obtained by taking different potential functions in and out of the well.

In this paper, the energy levels, wave functions and probability density functions of particles in one-dimensional infinite square well, one-dimensional half edge infinite square well and one-dimensional infinite ladder well are studied. First, the results are obtained by theoretical derivation and numerical calculation, and then visual simulation is carried out by MATLAB software to achieve the effect of intuitive summary.

The results show that the probability density of particles in the one-dimensional infinite square well changes with the change of quantum number, and it is not uniform everywhere. In a one-dimensional half edge infinite square well, the maximum probability of particle occurrence appears on the side far away from the infinite potential well. In the one-dimensional infinite ladder situation well, the probability that the particle is on the right side of the region is greater than the probability that the particle is on the left side, and when the energy of the particle is lower than the critical energy, its wave function will rapidly decay from a non maximum value to zero in the potential well.

The feature of this paper is to select several different one-dimensional potential well models for simulation, so as to achieve a deeper understanding of one-dimensional potential well problem. At the same time, it makes full use of MATLAB software for calculation and simulation, which makes the calculation process easier and the results more visual.

Key Words：Schrodinger equation；One dimensional potential well；wave function；probability density；Matlab

目录

第1章 绪论 1

1.1 一维势阱问题的研究背景 1

1.2 一维势阱问题研究的目的与意义 3

1.3 Matlab软件的背景 4

1.4 本文主要研究内容 4

第2章 一维势阱问题的理论基础 6

2.1 波函数与概率密度 6

2.2 薛定谔方程 6

2.3 一维方势阱的波函数数值解 7

2.4 微分方程数值解——有限差分 8

第3章 一维势阱模型的计算与Matlab仿真 10

3.1 一维无限深方势阱 10

3.2 一维半边无限高方势阱 12

3.2.1 确定粒子的能级 14

3.2.2 概率密度 16

3.3 一维无限深梯形势阱 18

3.3.1 粒子能级的求解 18

3.3.2 粒子波函数的数值解法 19

第4章 总结与展望 21

参考文献 22

致 谢 23

第1章 绪论

量子力学是研究微观粒子的运动规律的一门现代物理学。^[1-3]而量子力学这门学科中最经典的便是势阱问题。其势阱模型在宏观领域也许毫无价值，但是在微观领域的很多情形中,比如说金属中的电子、原子核中的质子和中子、原子中的电子等等微观粒子在运动时都处于束缚态——意思是它们在运动时都有极小的空间限制，这些粒子只能在很小的空间范围内活动。而这些处于束缚态中的粒子,可以假定它们都被限制在了一口有理想的反射壁的井里面，其在井里没有其他外力的作用。这样这些粒子只能够在井里面自由的活动但不能穿过井的井壁。这个假定的模型井外称作阱外，井内称作阱内。在量子力学中我们把它叫做势阱模型。一维的势阱问题是势阱问题中最基础最简单的，它描述的是粒子在一维的空间中自由活动的一种特殊势场。通过对阱内阱外取不同的势函数可以得到不同的一维势阱模型。本文通过建立几个不同的一维势阱模型，并通过Matlab软件对其结果进行仿真，从而可以直观、迅速地得出结论。

1.1 一维势阱问题的研究背景