摘 要

在一定条件下，一个信号可以由其等间隔的样本点重构出来，这就是采样定理。采样定理在联系连续信号和离散信号之间有很重要的作用。论文主要将采样定理应用在不同的信号中，分析了不同信号的采样信号和重构信号及其频谱图，验证了采样定理的正确性。傅里叶变换就是建立以时间为自变量的“信号”与以频率为自变量的“频谱函数”之间的某种变换关系。除了在时域中成立,采样定理在频域内也是可行的，即为频域采样定理。时域内的采样会造成频率混叠，同样的，频域内的采样会造成时间混叠。因此，可以采用相似的方法来研究频域采样定理。最后提出了最新的采样方法压缩感知，研究了其采样原理与重构方法之后,给出了一个以正交匹配追踪重构采样信号的例子。

在本文的讨论中，首先讨论了数字信号处理的基本理论以及在MATLAB中的应用，主要讨论了如何在MATLAB中使用DTFT、DFT和FFT算法。接着使用给出的算法，研究如何使用MATLAB进行连续信号以及离散信号的采样与重构。最后讨论采样定理在频域中的使用。为了使采样定理有更直观的显示，将采样频率设置为一个动态可调的区间，研究其过采样、临界采样和欠采样三种情况下采样信号和重构信号及其频谱。同时，研究了当今新兴的采样理论压缩感知（compressive sensing,CS），将其与本文研究的传统采样定理作对比，该理论可以采用比传统奈奎斯特采样率更小的采样率来对信号进行采样和重构。本文所用的压缩感知的重构方式为正交匹配追踪算法，通过MATLAB可以给出一个基础的例子实现该算法。

关键词：傅里叶变换；采样定理；信号重构；仿真分析；压缩感知

ABSTRACT

Under certain conditions, a signal may be reconstructed from its equidistant sample points, which is the sampling theorem. Sampling theorem plays a very important role in the link between continuous signals and discrete signals. In this paper, the sampling theorem is applied to different signals, and the sampled signals and reconstructed signals and their spectra are analyzed. The correctness of the sampling theorem is verified. Fourier transform is to establish a transformation relationship between the "signal" with time as the independent variable and the "spectral function" with the frequency as the independent variable. In addition to being established in the time domain, the sampling theorem is feasible in the frequency domain, which is the frequency domain sampling theorem. Sampling in the time domain can cause aliasing of the frequency. Similarly, sampling in the frequency domain can cause time aliasing. Therefore, a similar method can be used to study the frequency domain sampling theorem. Finally, the latest sampling method compressive sensing is proposed. After describing the sampling principle and reconstruction method, an example of reconstructing the sampled signal by Orthogonal Matching Pursuit is given.

In this paper, the basic theory of digital signal processing and the application in MATLAB are introduced. We mainly discuss how to use DTFT, DFT and FFT in MATLAB. Then use the introduced algorithm to study how to use MATLAB for continuous signal and discrete signal sampling and reconstruction. Finally, we discuss the use of the sampling theorem in the frequency domain. In order to make the sampling theorem more intuitive display, the sampling frequency is set to a dynamically adjustable interval, and the sampled signal and the reconstructed signal and its spectrum are studied in the three cases of oversampling, critical sampling and under-sampling. At the same time, this paper introduces the emerging Sampling Theory compressive sensing (CS), which is compared with the traditional sampling theorem studied in this paper. The theory can adopt the sampling rate smaller than the traditional Nyquist sampling rate to sample the signal and to reconstruct. In this paper, the reconstruction method of Sampling Sense is Orthogonal Matching Pursuit algorithm. A basic example can be given through MATLAB to achieve the algorithm.

Key Words：Fourier transform；sampling theorem；signal reconstruction；simulation analysis；compressive sensing.

目 录

摘 要 I

ABSTRACT II

第1章 绪 论 1

1.1 信号采样与重构的目的及意义 1

1.2 国内外发展及研究现状 1

1.3 信号采样与重构的研究内容 2

第2章 连续信号与离散信号的采样与重构 4

2.1 连续时间信号的采样与重构 4

2.1.1 用信号样本表示连续时间信号 4

2.1.2 冲激串采样 4

2.1.3 利用内插样本重建信号 7

2.2 离散时间信号 9

2.3 频域采样定理 11

第3章 离散信号频域分析——离散傅里叶变换 12

3.1 离散时间傅里叶变换DTFT 12

3.2 离散傅里叶级数DFS 13

3.3 离散傅里叶变换DFT 16

第4章 采样与重构的MATLAB实现 18

4.1 时域采样 18

4.1.1 连续非周期信号的采样与重构 18

4.1.2 连续周期信号的采样与重构 21

4.1.3 离散非周期信号的采样与重构 22

4.1.4 离散周期信号的采样与重构 24

4.2 频域采样 26

4.2.1 从频谱计算离散时间信号 26

4.2.2 从频谱计算连续时间信号 26

第5章 传统采样与压缩感知采样的对比 28

5.1 设计GUI用户界面实现传统采样定理的动态描述 28

5.1.1 显示界面的功能模块设计 28

5.1.2 显示界面功能模块的实现 29

5.1.3 界面显示结果的分析 29

5.2 基于压缩感知的采样定理 31

5.2.1 传统采样定理 31

5.2.2 压缩感知概念的提出 32

5.2.3 压缩感知重建算法 32

5.2.4 正交匹配追踪法实现一维信号重建 34

第6章 总结与展望 36

6.1 论文工作总结 36

6.2 未来工作展望 37

参考文献 38

致 谢 39

附录1 GUI用户界面设计关键代码 40

附录2 压缩感知采样与重构MATLAB实现 42

第1章 绪 论

信号采样与重构的目的及意义

在数字信号处理领域，采样定理是非常重要而且基础性的定理。在一定条件下，一个连续时间信号完全可以用该信号在等时间间隔点上的值或样本来表示，并且可以用这些样本值把该信号完全恢复出来。这个定理具有非常重要的应用，在实际中也可以找出类似的例子来，如电影的播放和图片的印刷。电影的播放是以每秒24帧来播放连续的画面的，每一帧相当于一个采样点，虽然播放的是间断的画面，但是由于人眼的特性，看起来却是连续动态的画面。图片的印刷也是一样的道理，如果将一张图片放大来看会发现印刷的全是一个个离散的点，这也相当于一个个的采样点，但是如果它们之间的距离足够近的话，在图像空间上看起来还是连续的^[1]。

采样定理的重要性还体现在联系连续信号（通常称作“模拟信号”）与离散信号（通常称作“数字信号”）中。作为数字信号处理中的一个重要手段，采样定理给出了用一组离散信号能够用来重构出其相应的连续信号的概念，这就相当于可以使用一组离散信号来表示连续信号。现实中几乎所有的信号都是模拟信号，即连续信号，但是离散信号的处理却更方便，这是因为过去几十年计算机技术的快速发展所造成的。计算机所使用的数字技术要求所处理的信号必须全部是离散的，所以必须找到一种方法将连续信号与数字信号联系起来，采样定理即是一种很具有吸引力的方法。通过采样定理，可以先将连续时间信号转换为离散时间信号，然后用离散时间信号的处理方式对其进行处理，最后再变回为连续时间信号^[2]。

采样定理虽然能联系起连续信号与离散信号，但是采样出来的数据量依旧相当庞大，如果想要减少采样点同时重构出来的原始连续信号不失真，就必须要提出其它更有效率的采样方式了，比如最近新兴的随机采样和压缩采样^[3]，它们可以在打破奈奎斯特采样定理的条件下进行无失真采样，具有非常广阔的研究前景。

国内外发展及研究现状

采样定理分为时域采样定理与频域采样定理，在《信号与系统》、《数字信号处理》等学科中，采样定理是非常基础且重要的理论，作为连续信号与离散信号之间的桥梁，它在理论研究和实际应用中有着非常重要的意义。对带宽在一定范围的函数来说，采样定理给出了保真度足够完整的采样率的概念。采样定理用信号的带宽表示采样率，在采样的过程中原信号包含的信息没有损失。通过该定理可以推导出一个数学上理想的原始信号的插值公式，通过该插值共识可以重构原始信号。但是该定理也并没有排除不满足采样定理的特殊情况下完整重构的可能性。

离散时间信号一般来自连续时间信号的抽样，抽样是模拟信号数字化处理的第一个环节。实际上，连续时间信号的抽样是通过A/D转换器实现的，将模拟信号转换为数字信号的这一过程称为模数（A/D）转换。时域上连续信号的采样会造成频域上的周期延拓，延拓周期即为采样频率fs。为了使采样后的信号频谱不失真，能够完全重构出原始的连续信号，其采样频率必须大于原始信号最高频率的两倍，这一定理即称为采样定理。对于离散时间信号与连续时间信号而言，采样的基本理论是类似的。在离散时间情况下，有一个与离散时间采样密切相关的概念称为抽取，抽取序列是对原序列在相等间隔上提取序列值得到的。采样与抽取之间的差别在于：对已采样序列来说，样本值之间是若干个零值，而对抽取序列来说，这些零值点被摒弃，从而在时间上对序列进行了压缩。抽取的逆过程是内插，抽取和内插的概念出现在很多实际应用中，其中包括通信系统、数字音频、高分辨率电视，以及其他很多应用领域^[2]。

采样定理从上个世纪开始随着信息理论的发展而不断完善。美国电信工程师奈奎斯特（Nyquist）在1924年推导出在理想低通信道的最高码元传输速率的公式，并且根据这一理论在1928年首先提出了采样定理，因此采样定理又称为奈奎斯特采样定理。此后在1933年，苏联科学家科捷利尼科夫首次使用公式严格地将采样定理表述了出来。1948年美国数学家、信息论的创始人明确地说明了采样定理，正式将采样定理规定为定理并在文献中引用。采样定理从提出到发展到现在已经经过了80多年，它为模拟世界到数字世界的转变做出了巨大贡献。在这70年的进程中，围绕如何在不丢失信号中有用信息的前提下，降低采样速率和减少采集数据量的主题，新的采样理论和采样方法不断涌现。奈奎斯特-香农采样定理被视为常规采样定理，几乎适应于所有的带限信号的采样，并能准确重构原信号。针对奈奎斯特-香农采样定理的不足，很多学者探索并研究了许多非常规采样方法及其可重构性，这些采样方法大致可分为两大类：随机采样与压缩采样。随机采样是一种采样间隔随机变化的非等间隔采样方法，它以其非均匀特性来有效地降低均匀采集稀疏信号时产生的冗余数据，并降低了采集速率，结合稀疏信号的压缩采样技术可进一步避免这种冗余性以提高系统的效率和实时性。压缩采样主要有基于边采边压缩的压缩传感方法（Compressive sensing, CS）和基于有限新息率(Finite rate of innovation, FRI)的信息自由度采样方法。

信号采样与重构的研究内容

采样定理研究的是信号时域与频域的特性，因此傅里叶变换是基础理论。对于连续信号，傅里叶变换和傅里叶级数是研究频域特性的主要手段：用傅里叶变换可以求出连续信号的连续频谱；用傅里叶级数可以求出周期连续信号的离散频谱。对于以离散序列为模型的离散信号，则存在着两种傅里叶变换——离散时间傅里叶变换（DTFT）和离散傅里叶变换（DFT）：前者（DTFT）用以求出离散信号的连续频谱，“离散时间”意味着在时域离散，在频域是连续的；后者（DFT）用以求出连续频谱上的离散样本点，相当于对连续频谱进行等间隔采样，所以在时域和频域都是离散的。

尽管在解析上，划分了连续和离散、周期和非周期等信号类型和傅里叶方法。但一旦要用计算机进行实际计算，必然要把连续信号离散化，也必然无限长信号有限化。不可能有真正的无穷大和无限小，因而也没有严格的连续和离散的界限。实际信号中任何一点微小的随机干扰就足以破坏它的周期性，所以也没有严格的周期和非周期的界限，这是首先应当具有的工程观点。