1. 目的及意义

1.1研究目的

数值分析属于计算数学的范畴，是研究各种数学问题的数值方法设计、分析、有关的数学理论和具体实现的门学科。很多复杂的和大规模的计算问题都可以在计算机上进行计算，新的、有效的数值方法不断出现。由于要在计算机上求解，故需对各种数值方法进行分析，其中包括误差、稳定性、收敛性、计算工作量、存储量和自适应性，这些基本的概念用于刻画数值方法的适用范围、可靠性、效率和使用的方便性等。

对于线性方程组Ax= b,当系数矩阵A的条件数很大时，计算中的舍入误差常常会造成解的巨大误差，这时，方程组为病态方程组。对于病态线性方程组的相关研究，应该从判定其病态性开始。选取简单快速的方式来判定给定线性方程组的病态性，之后用合适的方法进行运算以求得高精度解，是本文的最主要的目标。

1.2研究意义

(1)前处理中，了解病态方程组的特点，以及出现病态方程组的各种可能原因。如，计算机的舍入误差，求解某数学问题数值解时用有限过程代替无限过程所产生的截断误差等。从而在前处理时就要采取各种有效措施，防止建立的方程组病态并判定已有方程组的病态性，这一点往往比求解病态方程组本身更重要。

(2)在后处理中，判别所建立的方程组性态，采用更合适的算法以求的更精确的解。在无法避免出现病态方程组的情况下，研究更有效的算法，通过预处理方法与其他方法相结合，遗传算法等方法来得到更为精确的数值解是研究病态方程组解法的任务和意义所在。

随着科技的发展，方程组的系数矩阵越来越大，对算法的要求也越来越高。当方程组一旦病态时，其条件数往往很大，判定和分析就显得更为重要。

1.3国内外研究现状分析

病态方程组在科学和工程问题中广泛存在，此类方程组的特点是系数矩阵条件数很大，用常规方法不能求得有效解。预处理法是求解病态方程组最常见的方法，其目标是降低系数矩阵条件数，即改善方程组的病态性，从而可以用常规方法求解。