论文总字数：13341字

摘 要

本文主要研究的是用同伦算法求解矩阵的特征值问题。特征值问题在数学 和其他领域里有很多应用，如线性微分方程组稳定性和渐进估计的研究，球面上二次函数稳定点求解及约束特征值问题等。

同伦算法是19世纪 70 年代开始发展起来的求解非线性问题的一种有效的方法。它克服了传统迭代法初值难选取以及局部收敛的弱点，同伦算法对初值的选取没有严格限制，能够保证全局收敛，并且很容易实施并行计算。

本文提出了矩阵特征值对求解的同伦算法，分析了非线性方程组模型的建立、同伦映射的特点及同伦方程的求解方法，研究了在具体应用中同伦算法的优化步骤，分别讨论了以t为参数和以弧长s为参数的同伦方程，给出了算例，分别求解了实对称阵、奇异矩阵和非对称矩阵的特征值，证明了此方法的正确性。该研究表明：采用同伦算法进行矩阵特征的求解，具有收敛范围宽、收敛速度快等优点，是比较可行的方法。

关键词：同伦算法；特征值； 非线性方程组

The homotopy method to solve the eigenvalue of the matrix

Abstract

This paper mainly studies the using homotopy algorithm solving matrix eigenvalue problem. Eigenvalue problem has many applications in mathematics and other fields, such as linear differential equations of stability and gradual estimation research, spherical quadratic function stable point to solve the eigenvalue problem and constraints, etc.

Homotopy algorithm is developed in the 1870 s a kind of effective method for solving nonlinear problems. It overcomes the traditional iterative initial value is difficult to select and local convergence of the weaknesses of the homotopy method is not strictly limited, the selection of initial value can guarantee the global convergence, and easy to implement parallel computing.

This paper put forward homotopy algorithm for solving matrix characteristics, analysis of the nonlinear equations model, the characteristics of the homotopy mapping and homotopy equation solution method, studied the homotopy method in the concrete application of the optimization of the steps, discussed t as parameters and parameters for arc length s homotopy equation, numerical examples are given, respectively to solve the real symmetric matrix and singular matrix and asymmetric matrix eigenvalue, which proved the accuracy of this method. The study shows that using the homotopy algorithm for matrix characteristics, has the advantages of wide range of convergence and convergence speed is fast, is a feasible method.

Keyword: homotopy algorithm; eigenvalue；system of nonlinear equations

目录

摘 要 I

Abstract II

目录 III

第一章 引言 4

1.1 研究目的及意义 4

1.2特征值的算法概述及研究现状 4

1.2.1 特征值问题的算法 4

1.2.2 同伦算法在国内外的研究现状及分析 5

1.3 本论文研究的主要内容 6

第二章 预备知识 7

2.1同伦延拓方法 7

2.2.古典Newton法 8

第三章 同伦方法求解特征值问题 10

3.1以t为参数的同伦方程1 10

3.2以t为参数的同伦方程2 12

3.3以弧长s为参数的同伦方程3 13

第四章 数值试验 16

第五章 总结 20

参考文献 21

致谢 22

第一章 引言

1.1 研究目的及意义

特征值问题的解法长期以来对我们就有一种特殊的关注，因为它充分显示 出所谓经典数学与实用数值分析之间的差异。随着电子计算机的普及以及电子 技术的迅猛发展，矩阵特征值特征向量的计算越来越被从事计算数学的人们所 关注。因为无论是数学领域，还是其它领域，比如计算化学、计算物理、控制论、信息论等领域，都离不开特征值问题的求解。可以说，特征值问题成了数值分析的核心与出发点。矩阵计算是科学与工程计算的核心，可以毫不夸张的讲，大部分科学与工程问题都要归结为矩阵的问题，其中具有挑战的问题是大规模矩阵的计算问题。矩阵计算的基本问题有三个：其一，求解线性方程组问题；其二，线性小二乘问题；其三，矩阵特征值问题。

在工程上，矩阵的特征值具有广泛的应用，如结构力学中的固有频率分析 问题以及控制系统中的稳定性，大型桥梁或建筑物的振动问题，机械和机件的振动问题，飞机机翼的颤振问题，无线电电子学及光学系统的电磁振动问题，调节系统的自振动问题以及声学和超声学系统的振动问题，都与矩阵的特征值密切相关；又如天文、地震、信息系统、经济学中的一些问题也关系到矩阵的特征值。在科学上，计算流体力学、统计计算、量子力学、化学工程和网络排队的马尔可夫链模拟等实际问题，后也都要归结为矩阵的特征值问题。

传统的数值迭代法存在的大问题是方法的有效性依赖于初值的选取初值选取不当常导致迭代过程不收敛，而且一次只能求出问题的一个数值解。提出的区间分析法虽能在较大范围内收敛，可判断在给定的区域内有无解，并对有解区间求出其中的全部解，但它仍存在选择合适的初值区间的问题。

同伦算法是求解非线性问题的一种有效方法。它克服了传统迭代法初值难选取以及局部收敛的弱点。同伦算法对初值的选取没有严格的限制，能够保证全局收敛，并且很容易实施并行计算。它是一种大范围收敛的方法，是20世纪数学研究中的一项突破性新成果。因此，我选定此课题，希望通过自己掌握的知识及老师、同学帮助、相关资料的提供，能够对同伦方法有初步的掌握以及应用。

1.2特征值的算法概述及研究现状

1.2.1 特征值问题的算法

对一个阶实（复）矩阵A，它的特征值问题，即求方程的非平凡解，是数值代数的一个中心问题，这一问题的内在非线性给计算特征值带来许多计算问题。为了求 中的 ，一个简单的想法就是显式地求解特征方程除非对于个别特殊矩阵，由于特征方程的系数不能够用稳定的数值方法由行列式的计算来求得，既使能精确计算出特征方程的系数，在有限精度下，其特征多项式的根可能对多项式的系数非常敏感因此，这个方法只能在理论上是有意义的，实际计算中对一般矩阵是不可行的首先，若矩阵的阶数较大，则行列式的计算量将非常大其次，根据理论，对于次数大于四的多项式求根不存在一种通用的方法，基于上述原因，人们只能寻求其它途径因此，如何有效地、精确地求解矩阵特征值问题，成为一门热点问题。

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