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摘 要

在现代航空航天领域的模拟计算中，差分方法是必不可少的。本文对相关理论进行全面的回顾和介绍，并对国内外相关的实证研究成果加以综述和回顾，我们已知的一些传统的差分格式虽然算法比较简单且同时占用机时少，但还是有一些不尽如人意的地方。

在时间空间均为二阶的新型NND差分格式的基础上，为了避免解的局部极值点附近只能达到一阶精度的情况发生，采用通过修改TVD格式的新的限制器函数，构造了构一个无波动的二阶精度差分格式，这样构造出来的混合型格式不仅在光滑区为二阶精度，而且在激波附近也为二阶精度，即不管是在光滑区还是在极值点，这个新构造的混合格式，在时间和空间都具有一致的二阶精度。通过三个典型算例的数值计算来比较NND格式和新构造的混合格式的分辨率和对激波的捕捉能力，通过检验结果我们可以看出,该差分格式无波动，紧凑且分辨率较高，与此同时，还有稳定性准则中的Courant数较大的优点。　

关键词：偏微分方程 差分格式 二阶精度 双曲方程数值解

Study on Numerical Solution of Hyperbolic Equation

Abstract

In the analog calculation of modern aerospace field, the difference method is indispensable. This article reviews and introduces related theories at home and abroad comprehensively. These traditional difference schemes have the advantages of simple algorithm and less machine time consumption, but there are also some unsatisfying aspects.

To construct a satisfactory second-order precision difference scheme without fluctuation , Based on the new NND difference scheme with second-order precision in the time and space dimension ,a limiter function with a uniform second-order accuracy format is used to construct a hybrid format with second-order accuracy in the smooth region and near the shock. The mixed scheme has the same second-order precision in both the smooth region and the extreme point. The calculation results show that this scheme not only has no fluctuation, but also has the advantages of high resolution and large Courant number in the stability criteria by the calculation of typical examples and comparison with the NND format.

Key Words: Partial differential equation; Difference scheme; Second-order accuracy; Numerical solution of hyperbolic equations

目录

摘要 I

Abstract II

第一章 导论 1

第二章 理论综述 3

2.1 传统的差分格式 3

2.1.1迎风格式 3

2.1.2 Lax-Friedrichs格式 4

2.1.3 Lax-Wendroff格式 5

2.4 高分辨率格式 6

第三章 计算方法及推导 7

第四章验证和比较 13

算例1(Lax问题) 13

算例2 （Sod问题） 14

算例3 （斜激波在平板上的反射问题） 15

第五章 总结 16

参考文献 17

第一章 导论

初等数学关注常量的计算，而高等数学则看重变量，变化离不开导数——导数可以用来来描述变化瞬间和变化的速度。我们通常用积分来描述变化时间，与此同时，我们使用微分来描述变化瞬间[2]。

作为数学学科的一个重要分支，偏微分与其他数学分支领域联系密切，也经常出现在力学，物理学，工程技术和其他科学的许多分支中，包括航空航天领域的模拟计算也与之密切相关。偏微分方程已经成为数学最主要的钻研范畴之一，它的方法多种多样，而内容又十分庞杂。偏微分方程被用于描述，解释或预测，结果更是可以应用于科学和工程各个领域。近三十年来，人们不断丰富和发展偏微分方程的理论和方法。各个科学领域中，偏微分方程都起着重要作用，也因此，其应用也在逐渐变得更加广泛。

偏微分方程中最典型的种类之一即为双曲型方程，这一类偏微分方程通常描述波动或振动现象。双曲型方程模型应用广泛，在科学实践和工程技术中经常会被遇到。在现代航空航天领域的模拟计算中，差分方法是必不可少的，如果需要数值求解该类问题,差分格式的激波捕捉能力占着举足轻重的地位。经过研究，人们发现传统的差分格式算法比较简单且同时占用机时少，但还是有一些不尽如人意的地方[2]——一阶格式耗散过大，同时有抹平间断的趋势，物理特性失真，不符合真实的物理解；二阶格式得出的模拟解在激波附近产生数值振荡。1983 年，Harten给出了一类新的显式二阶精确有限差分格式用于计算双曲型守恒律弱解。文献^[4]设计出差分解无波动的半离散化差分格式，即无波动无自由参数的耗散NND差分格式^[4]。文献[5]，同样的，在文献[4]研究的基础之上，通过同样的原则，对Lax-Wendrof格式和迎风Wanning-Beam格式及其改型方程进行研究，通过两者的组合，构造出一类新型NND差分格式，并证明了这是二阶NND格式的推广^[5]。因为激波捕捉能力好、精度高，这些格式得到了广泛运用，但缺点是在极值点会降为一阶。为了克服这些缺点，人们又通过多种方式构造出新的差分格式，如实质无波动 (Essentially non-oscillatory ENO) 格式 ^[6]、一致二阶TVD格式^[7]等。这些格式不但能无振荡地准确捕捉激波, 而且在极值点附近不会降阶。本文在时间空间均为二阶的新型NND格式的基础上，在光滑区域采用文献[5]提出的NND格式，同时在极值点附近采用了文献[7]中提出的限制器函数，使得新格式不管是在光滑区还是在极值点都有均匀二阶精度。通过对典型算例的计算，并与NND格式作了比较，通过检验结果我们可以看出,该差分格式无波动，紧凑且分辨率较高，与此同时，还有稳定性准则中的Courant数较大的优点。　

第二章 理论综述

对于一阶线性双曲型方程（对流方程）

2.1 传统的差分格式

传统的差分格式有一阶迎风格式、Lax-Friedrichs一阶格式、Lax-Wendroff二阶精度格式等^[2]。

假定偏微分方程初值问题的解是充分光滑的，接下来我们通过泰勒级数展开的方法来构造差分格式，

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