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1. 研究目的与意义及国内外研究现状

复数作为对实数域的补充，在数学中有重要的地位。它广泛的与微分几何学、拓扑学等相邻学科进行结合，演绎出了纷繁复杂的变化，不断开辟着新的领域。复变函数在物理中也有着广泛的应用，是帮助我们认识世界的重要工具。

最大模原理是复变函数中重要的成果之一，阐述了非常数函数的解析函数的模在区域内部不能达到极大值这一重要性质。这一定理直观而明确的说明了解析函数模的重要特点，为其他定理的证明提供了途径。当函数在区域边界处连续时，可以由边界处函数的模得到区域内函数模的上界。但对于不在区域边界处连续的函数，其在区域内模的情况并没有太详细的研究。

国内外研究现状

国内的学者已经详细地给出了最大模原理的相关证明与推论，但一般都是在有界范围内讨论，对解析函数在无界域中模的变化性质没有太多的涉及。不过在张南岳，陈怀惠的研究生教材中，提到了最大模原理在无界域的推广：phragmen-lindel?f定理。但并没有针对各种区域进行详细讨论。很多学者以不同思路给出了最大模原理的证明方法和多种形式，以及在不同定理证明中的应用。其中蔡邦元以区域内任意一点为研究对象，讨论了解析函数模在各个方向上的变化趋势。阮世华则将解析函数这一条件弱化，证明了调和函数模的简单性质。国外学者也有对相关领域的探索。ulanovskii以射线为研究对象，探究了解析函数在射线上的变化趋势；korenblum对phragmen-lindel?f定理的离散形式做出了证明等。

2. 研究的基本内容

最大模原理是复变函数中重要的成果之一，阐述了非常数函数的解析函数的模在区域内部不能达到极大值这一重要性质。本文以phragmen-lindel?f定理为基础，对最大模原理进行推广，将限定范围的特殊区域一般化，讨论角形区域和带形区域，关于相关限定条件进行优化，并针对零点等情况下的phragmen-lindel?f定理进行分析，以便得到更加具体的范围或者更加宽松的限定条件。

(1) 本文将讨论有界区域上存在特殊点时最大模原理的满足条件；

(2)本研究基于phragmen-lindel?f定理对一般角形区域内的限定条件进行讨论；

3. 实施方案、进度安排及预期效果

（1）2018年9月~2018年11月，在确定研究方向之后，搜索查找相关文献，总结目前已经证明的最大模原理的相关推论；并将与其相关的复变函数知识进行梳理。

（2）2018年12月~2019年2月，整理学习最大模原理的相关研究，尤其是关于其推论之一：phragmen-lindel?f定理。总结各种论证思路和方法，寻找并积累可能还存在待解决问题的推广方向

（3）2019年3月~2019年4月，针对各种推广方向进行探索尝试，思考最大模原理的在不同区域的表现形式并尝试加以证明。

4. 参考文献

[1]庄圻泰，张南岳.复变函数[m].北京：北京大学出版社，1984：

[2]张太忠.复变函数论[m].北京：科学出版社，2016：

[3]张南岳，陈怀惠.复变函数论选讲[m].北京：北京大学出版社,1995：