全文总字数：2014字

1. 研究目的与意义及国内外研究现状

riccati方程，中文又叫里卡蒂方程或者黎卡提方程，它是由达朗贝尔在1736年归纳并且以17世纪的意大利数学家riccati命名的，是形式上最简单的非线性方程，但却是常微分方程发展早期的最重要的方程之一。

在1841年的时候，法国数学刘维尔证明了riccati方程的解一般无法通过初等函数的积分来表达，至此人们才知道不是所有的微分方程的解都能用不定积分来求得的，于是人们开始绕过求解而直接去讨论微分方程解的性质，微分方程的研究工作进入了一个新的阶段，riccati方程对于常微分方程研究发展的的重要性不言而喻。

虽然riccati方程一般没有初等解，但是许多科学研究及生产实践中确实需要用到riccati方程的解，所以在不解出riccati方程的情况下去研究解的性质是一件十分重要而且有意义的事。

2. 研究的基本内容

本文将主要分成四个部分，第一部分为引言，在引言中本文将先简要介绍riccati方程的基本概念，然后阐述常微分方程的发展历史，突出riccati方程在其发展历史中的重要性以及研究riccati方程的解的重要性，然后本文将介绍近些年来国内外关于riccati方程的解的研究的进展，并说明研究riccati方程的解的存在区间的意义。

第二部分将列出本文中主要用到的一些常微分方程的理论，比如常微分方程的解的延拓性定理以及解的比较定理。

第三部分为本文的主要结论部分，在这部分里本文将利用第二部分中的理论，结合数学分析中的知识对一些形式比较简单的riccati方程的解的存在区间进行研究，具体的方法是先利用解的存在唯一性定理研究方程的解过给定点的存在性及唯一性，在确定解的存在唯一性之后，利用解的延拓定理可以知道解能延拓到无穷远处，在此基础之上可以利用比较原理和数学分析中的定理讨论其在指定点处的解的存在区间，了解该riccati方程的解的变化规律，找到一个适合的研究方法，再讨论其在任意点处的解的存在区间，最后进行总结并将riccati方程进行一些改动继续研究。

3. 实施方案、进度安排及预期效果

2019年3月22日前 查阅资料并完成任务书

2019年3月24日前 完成开题报告

4. 参考文献

[1]丁同仁,李承志.常微分方程教程[m].第二版.北京：高等教育出版社,2004.

[2]王高雄,周之铭,朱思铭,王寿松.常微分方程[m].第三版.北京：高等教育出版社,2006.

[3]刘玉堂.二次riccati方程研究综述[j].聊城大学学报（自然科学版）,2017,30(3):21-27.