全文总字数：2365字

1. 研究目的与意义及国内外研究现状

集合作为代数学中最重要且基础的概念之一，在集合上定义运算从而构成代数系。群、环就是常见的研究对象。相对于集合的子集，环有相应的子环，其中，理想就是一种特殊的子环。再根据不同的定义及性质，引申出素理想，极大理想和极小理想这几个概念。

本文主要介绍了这三种理想的概念，讨论一般环中相应的性质，并着重于交换环，讨论一些特殊的交换环如整数环、剩余类环域=与多项式环等，有哪些特殊性质。紧接着探讨这三种理想的存在条件，即是否任意的环都能找到这样的理想。更近一步，讨论素理想与极大理想的关系，在何种条件下相等。

通过这样的选题，主要希望能掌握素理想、极小理想和极大理想的概念；给出一些特殊环的素理想、极小理想和极大理想；讨论素理想、极小理想和极大理想的一些性质，为我们以后更深入的研究打下坚实的基础。

2. 研究的基本内容

首先给出三种理想的概念的定义并讨论等价的判定定理；

具体的求解一些特殊环，如整数环、剩余类环与多项式环的素理想、极小理想、极大理想；

探究是否任意的环都存在素理想，极大理想与极小理想，并且得到一般的判定定理并研究相关性质；

3. 实施方案、进度安排及预期效果

主要利用文献分析法参考大量的国内外相关的文献著作，得出这三种理想的概念，总结归纳性质，从而得到一般的性质及判定方法，探讨特殊环的素理想，极大理想与极小理想。

论文的进度安排如下：2月完成论文的预备知识，在3月完成论文的正文的初稿和材料的翻译，在5月完成论文的格式及排版以及定稿。

预期效果是希望内容能够包含任务书里的内容，达成定下的目标，对理想能有较为清楚的理解。

4. 参考文献

[1] 吴品三.近世代数[m].北京：高等教育出版社，1979: 166-169.

[2] 丘维生.近世代数[m].北京：高等教育出版社，2003: 134-142.

[3] 张禾瑞.近世代数基础[m].2版. 北京：高等教育出版社，1978: 116-118.